Cialkoskrypt 5

188 3. Kinematyka płynu

Całkowanie powyższego równania prowadzi do rozwiązania w postaci:

x(t) = —(1 - at) + C, cos at + C₂ sin at. a“

Ponieważ dx/dt = ay + bt, więc wyrażenie na y ma formę:

^{y =} a_U.

Po podstawieniu podanego wyżej wyrażenia na x(t) i zróżniczkowaniu go względem t otrzymujemy:

y = —~(l + at) + C₃ cosat + C₄ sinat,

1 ( dx

bt L

a stąd postać przyspieszeń dx/dt i dy/dt jest następująca:

dx    b    _ ,    _

—    =---aC, sinat + aC, cosat

_< dt    a    ^1    2

dy    b    .

—    =---aC, sin at + aC_d cosat.

dt    a

Z drugiej strony

dx

—    = ay + bt = a dt

dy

—    - -(ax + bt) = a dt

—^(l + at) + C₃ cos at + C₄ sin at + bt a'

—(1 - at) + C, cosat -t-C, sinat a

■bt.

Z porównania prawych stron powyższych wyrażeń otrzymujemy:

C₃ - C₂, C₄ = - C_h

a wprowadziwszy oznaczenia:

A = ^Ćf + C₂, sin(3 = —, cosp = —, A    A

mamy:

(c)

(d)

x = —(1 ~ at) + Asin(at + B), a'

y = —^(1 + at) + Acos(at + B).

Po podstawieniu powyższych wyrażeń do zależności (a) i (b) otrzymujemy:

oscylują wokół wartości (-b/a) z amplitudą a-A

^vx ⁼---H aAcos(at + B)

a

v =---aAsin(at + B)

a

lub po przekształceniu do innej postaci mamy:

v_x + — = a ■ A ■ cos(at + B), a

v -f — = -a- Asin*(at + B), ^y a

po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu stronami

lub

^cos² (at + B) + sin² (at + B)J = a² A², lub 1 = a² A², stąd A² = 1/a².

Ponieważ na mocy (a) i (b) v_x = ay + bt i v_y = -(ax + bt), to v_x = 0 i v_y = 0 w wędrującym punkcie, jeśli ay + bt = 0, ax + bt = 0. Stąd po odjęciu stronami y = x, co oznacza linię, na której v_x = v_y - 0. Na tej linii równanie dx/v_x = dy/v_y ma osobliwość.

Jeśli znamy rodzinę torów, możemy oczywiście określić funkcję C(t) w równaniu rodziny linii prądu. Po podniesieniu stronami do kwadratu obu równań rodziny torów i po uprzednim ich przekształceniu otrzymujemy:

l    u    K

(x —• t)² + (y H— t)² = A² + —— + 2A—r-[sin(at + B) - cos(at + B)], a    a    a    a

a po pomnożeniu przez a² uzyskujemy postać analogiczną do postaci rodziny linii prądu;

b²

(ax + bt)² + (ay + bt)² = a² A² + 2—r + 2Ab[sin(at + B) - cos(at + B)].

a

Prawa strona powyższego równania reprezentuje funkcję C(t), a całe powyższe równanie może być traktowane jako równanie rodziny linii prądu po uprzednim wyznaczeniu t. Zauważmy, że funkcja C(t) może być stała. Zgodnie z uprzednio poczynionym założeniem zachodzi to wtedy, gdy A = 0 (zerowanie się amplitudy).

Ad 3. Dla linii prądu przechodzącej w chwili t = 0 przez punkt (1,0) mamy na mocy powyżej uzyskanego wzoru;