Cialkoskrypt 3

184 3. Kinematyka płynu

a następnie

dx = 0.

ffJl “ + div(pv) dt

Na mocy dowolności wyboru obszaru t, czyli z analizy całego obszaru przepływu, mamy:

+ div(pv) = 0.

ap

0t

Ponieważ

div(pv) = vgradp + pdivv = 0

z uwagi na pochodną substancjalną daną w postaci (p = p(x (t), y (t),z(t),

Dp Dp ap ap dx ap ay ap & 3p _    ,

—    = — = — + ——    —    = —+ vgradp

Dt dt at dx at ay at az at at

otrzymamy:

—    + div(pv) = — + vgradp + pdivv = — + pdivv = 0.

at    at    at^K

Po przedstawieniu zagadnienia w układzie kartezjańskim x, y, z, w którym prędkość opisana jest jako v = ui + vj + wk, równanie ciągłości przepływu można zapisać w formie:

ap a    a    a

—+ t-(p«) +—(p^v)+“(p^w) = °-

at ox    dy    oz

W praktyce mogą wystąpić szczególne przypadki upraszczające powyższe równanie:

,.    ,    , ap . a . . a , . a . _ .

1) przepływ ustalony: — = 0 => —.(pu) 3--(pv) + — (pw) = 0;

at    dx    dy    dz

da    dv    dw _n

2) płyn nieściśliwy: p - const => — + — H--= 0;

dx    dy    dz

3) przepływ jednokierunkowy (jednowymiarowy): — = 0.

dx

Ostatnia forma odpowiada przypadkowi przepływu ustalonego płynu nieściśliwego - płyn porusza się w kierunku zgodnym z kierunkiem osi x.

3.10. Przykłady obliczeniowe

ZADANIE 3.10.1

Stacjonarne pole prędkości jest określone składowymi prędkości: v_x = = .ky, v_y = - kx, v_z = 0. Wyznaczyć rodzinę linii prądu. Ponieważ v_z = 0, zatem pole jest płaskie i wystarczy rozwiązać równanie na płaszczyźnie (x, y).

Rozwiązanie

Równanie linii prądu ma postać:

*=^.stad^		dx
> >	y	X ( 2 2 X
= o,	stąd	d|5-+JL l^2 2J

= 0,

a po scałkowaniu otrzymujemy: x² + y² = c². Z kolei równanie torów jest następujące:

dx

dy

dx dy    dy dx

dt

dt

v„

lub

dy

dx

dx - k • y • dt i dy = -k • x • dt, więc

albo

ydy + xdx = 0 => d

/ 2 2 2-₊Ł| _{= 0},

V ²    2 a po scałkowaniu

O    1    i

x +y- = d.

W przepływach stacjonarnych linie prądu i toru się pokrywają, więc stałe c i d są równe i oznaczają promienie okręgów.

ZADANIE 3.10.2

Pole prędkości jest określone składowymi:

v_x = (ay +bt), v_y = - (ax +bt), v_z = 0.

Wyznaczyć:

1.    rodzinę linii prądu,

2.    rodzinę torów,