Cialkoskrypt 8

194 3. Kinematyka płynu

dt

a po scałkowaniu

, 1 -1 dx

dt-- = —,

1 + t x

1

t

1 + t² 1 + t'

dx

x

arctg t -—ln(l +1²) = In x + C,

2arctg t = !n(l +1²) + ln x + C = In

(

1+^

V ^x )

+ lnx + C,

2arctg j = ln(x² + y²) - ln x² + In x² + C,

4*7? -cT®:

Po przejściu z kolei do biegunowego układu współrzędnych:

y

x = r ■ cos cp, y = r • sin <p,    — = tgcp

x

otrzymujemy zależność: r = Ce¹*⁵, będącą równaniem spirali. Zauważmy, że ruch nigdy nie zacznie się w punkcie r = 0, cp = 0, gdyż dla (r, (p) - (0,0) nie jest spełniona powyższa zależność, bowiem wtedy C = 0.

Niech ruch zaczyna się w punkcie (r,cp)= (l,o). Wtedy z równania r(cp) = C•e^q> mamy l = C*e°, więc C = 1. Na rysunku 3.12 pokazano przebieg linii prądu dla

(p>0.

Rys. 3.12

x - y~ 2xy    ax x' - y*

Ad 2. Równanie różniczkowe linii pola ma postać:

^dx - ^dy lub    ^2xy

Jeśli zastosujemy podstawienie analogiczne do podstawienia w punkcie 1, uzyskamy:

,    ,,    . ,    dt 2t

dx 1-t²’

y = tx, dy = dt • x + t • dx, t + x —

stąd

dt _ 2t-t + t _ t + t _ ^1 + t'

dx

1-U

\-v

1-t²

lub

\-V

dt =

dx

Ułamek stojący przy dt możemy rozłożyć następująco:

1    t I 2t

t(l + t²)    1 + t² t 1 + t²'

Zatem całkowanie prowadzi do zależności:

ln t - ln(l +1²) - ln x = InC, ln-~— = ln —

(1 +1² )x C

po wyeliminowaniu zmiennej t wynikającej ze związku y = t*x

1

x + y

lub x² + y² = C • y.

Rozwiązanie to możemy przekształcić do pełnej formy równania okręgu jako:

,2

x + y

Ad 3. Dla pola prędkości

v= iv_x + ]v_v = xi'+( y/x² +y²)j

równanie linii prądu jest następujące:

dx

x

V

dy

y + yx + y'