Cialkoskrypt7

212 3. Kinematyka płynu

Po porównaniu tych wyrażeń otrzymujemy:

C² - 4zC = 0 lub C(x, y)(C(x, y) - 4z) = 0.

Ponieważ C = C(x,y), więc rozwiązaniem tego równania jest C(x,y) = 0.

ZADANIE 3.10.18

Napisać wzór na strumień objętości przepływający przez powierzchnię elipsoidy A o półosiach a, b i c, której środek leży w początku układu współrzędnych (rys. 3.20), jeżeli dane jest pole prędkości

v = (2x +1 )7 + (4y + 2) j + (6z + 3)k.

Obliczenia wykonać dla: a = 0,8; b = 0,5; c = 0,5.

Rozwiązanie

^d0 = v_ndAL_x>yz)eA, stąd 0 “ Jv_ndA, v„=n-v,

A

gdzie wektor fi jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni A, Ponieważ (twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego)

Jdiv vdV = Jń • v • dA = Jv_ndA,

v    A    A

przeto łatwiej jest prowadzić dalsze obliczenia, przechodząc na całkowanie względem objętości. Objętościowe natężenie przepływu (strumień objęstości) wyznaczymy, badając źródłowość pola prędkości za pomocą operacji diw. Ponieważ

divv = 2 + 4 + 6 = 12 [1/s] *0,

przeto w objętości V istnieją źródła, a płyn przepływa przez powierzchnię A otaczającą objętość V w ilości Q. Zatem strumień objętości płynu przepływającego przez powierzchnię elipsoidy jest następujący:

Q = Jdivvdx = 12 jdx = ł2x = lÓTrabc. n    o

Dla danych z treści zadania Q = 10 m³/s.

Przykład ten pokazuje, jak dzięki zastosowaniu twierdzenia Gaussa-Ostrogra-dskiego można znacznie usprawnić obliczenia.

ZADANIE 3.10.19

Równanie ruchu elementu płynu ma następującą postać:

x = 2 + 0,01^/7, y = 2 + 0,0l/tⁱ\ z = 2,

gdzie t jest to czas, a x, y, z to współrzędne długości. Obliczyć rzuty wektora przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych w punkcie x = 8.

Rozwiązanie

Położenie x = 8 zostanie osiągnięte po czasie określonym równaniem:

8 = 2 + 0,0 b/7, stąd

2

6 js

0,01

= t => t² = 600⁵,

więc t = 12,92 s.

Wektor przyspieszenia

a = ia_x + ja 4-

r t dv -dv dv_z rd²x -r d~y _rd²z ka₇ = i —- + j —- + k—- - i —+ j —=- + k—-, ^z dt dt dt dt² dt² dt²

= — = 0,01—t* = 0,01—t^.

* dt dt    2

Zatem dla czasu t = 12,92 s rzuty wektora 5 na osi x, y, z są następujące:

a =72^ = 0,01—-—_t2 ₌ 7_L._t2 ₌ -LL_t2 =—₁2 =0,1348 m/s², dt² 2 2    4 100    4 20    80

d²y

d“z

a = —= ——600⁵ =0,1348m/s², a =^-f = 0. ^y dt“ 80

dt

Przyśpieszenie wypadkowe

a = a_x² + a_y² + a_z² = 0,19062 m/s².