Cialkoskrypt1

220 3. Kinematyka płynu

a po scałkowaniu uzyskujemy:

In x = ln y - In C lub y = Cx.

Jest to zatem rodzina linii prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Równanie rodziny linii torów ma postać:

dx

dt

=

więc

dx

v* = — = xt * dt

oraz

dy

dt

W wyniku całkowania tych równań otrzymujemy:

li    1 ,

lnx = — t"+C, oraz Iny- —t +C₂

2 '2

lub

it²

¹,2

x = d[e² oraz y = d₂e² Po eliminacji czasu przez podzielenie strumieni mamy:

y _

d, stąd y = d₂x.

Zatem w tym szczególnym przypadku linie prądu i toru pokrywają się.

Pole przyspieszeń wyznaczymy, różniczkując równanie prędkości względem czasu:

. dv 5v    dv    dv    dv

a = — = — +    -+ v_v--i-v₇ — ,

dt    dt    dtx    ^y dy    dz

v= iv_x + jv_y +kv_z = i    -x-t    + j-y-t,

dv t -    dv    v    dv -

~=ix + jy,    — =it,    — = jy>

ot    chi    dy

więc

a = ix + jy + x • t • i + y • t • j = i(x + x • t)+ j(y + y ■ t).

ZADANIE 3.10.24

Płyn znajduje się w ustalonym ruchu prostoliniowym. Napisać równanie ruchu elementu płynu, który w chwili początkowej znajdował się w punkcie A (3, 2, 4), a po upływie czasu t = 20 s zajmuje położenie w punkcie B (4, 4, 2).

Rozwiązanie

Ruch jest ustalony, a więc

x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct.

Dla t - O

x = x₀=3, y = y₀=2, z = z₀=4,

a dla t = 20

x = 4 = 3 + 20a, y = 4 = 2 + 20b, z = 2 = 4 + 20c, stąd wartości stałych a, b, c są następujące:

_a _ J_ _b=_L _{c =} _i_ ^a 20’ 10’ ^C 10 '

Wobec tego ruch elementu płynu będzie opisany następującymi równaniami parametrycznymi:

_ t    _ t    . t

x = 3+—, y = 2n--, z = 4--,

20 10 10

dz 1

1 ,T

^V* ~ "dt" ~ 20 ’ ^Vy~dT"TÓ’ ^{Vz _}"dt" ~ "To ’ ^V ” 20 ¹ + J ^

_ dy _ 1 ~ d

dV

a

= 0 - ruch jest stacjonarny,

a po eliminacji czasu równania linii prądu i toru, odpowiednio, dane są wzorami:

x + z/2 = 5, y + z = 6.