Cialkoskrypt0

198 3. Kinematyka płynu

Rozwiązanie

Ad 1. Z definicji potencjału prędkości rotv = 0 (warunek ten jest spełniony dla v = gradd>, gdyż wtedy rot grad 0 = 0) mamy:

ao    ao

v„ =— => a = —. dx    8x

Ponieważ funkcja <£> zależy tyłko od zmiennej x, przeto

d<J> = adx => cp = ax + C.

Ad 2. W tym przypadku otrzymujemy:

ao ao ,

^v‘“^a-^v>“^by-

■ :^V?X

m

a po scałkowaniu

0(x,y) = ax + f(y) by²

~“ = f'(y)-by    by²

ay    f_(y) = £i- + c_lf

f =>    =>_y    2

“■ = g'(x) = a g(x) = ax +C₂, ox

więc

/    \ by²    by²

<J>(x, yj = ax + —~ + C,    + ax-t-C₂,

zatem

<t> = C + ax +

by²

Ad 3. W tym przypadku pole prędkości jest trójwymiarowe, więc

X#.'

•..i.

■ ,:f

m

w

"§

ł

•fo ■ %

ao

ao

ao

v_x = — = a, v_v =^ = by, v₂ = —= cz². ^x ax ^y dy    ² dz

W wyniku działań podobnych do działań w przypadku 2 poprzez całkowanie kolejnych składowych prędkości otrzymujemy:

<J> = Ja■ dx = ax + C, (y,z),    <f> = Jb-y-dx =^- + C₂(x,z),

0= jc-z² -dx =~- + C₃(x,y),

stąd

II i

<P(x,y,z) = ax + -~~ + ^- + D(x,y,z),

a różniczkując teraz funkcję O (x, y, z) względem kolejnych zmiennych otrzymujemy:

3D

3x

= 0,

3D

dy

= 0,

§-*

stąd

D = const,

przeto

-    „    by cz

O = D + ax +    + —

2    3

ZADANIE 3.10.7

Wyznaczyć pole prądu ruchu cieczy doskonałej w płaszczyźnie z = const. Potencjał prędkości dany jest wzorem:

<t>--^(ax² +by² +cz²).

Rozwiązanie

Ze względu na symetrię ruchu względem punktu (x, y, z) = (0,0,0), to znaczy zachodzi równość 0(x, y, z) = 0(-x, -y, -z), dokonujemy podstawienia: x - r • cos cp, y = r • sin <p, stąd

0=—[r²(a-cos²<p + b-sin²(p)+c-z²].

Ruch będzie się odbywał tylko w kierunku r i z, jeśli 3O/3(p = 0, co zachodzi, jeśli

30>    ₂.    .    .

— = r (-a-cos(psin(p + b-smtpcostp) =0, 3(p

czyli dla b = a.

3²0 3²0 3²0

+............ 4--— - a + b + c = 0.

3x 3y 3z‘

Z warunku spełnienia przez funkcję O równania Laplace’a uzyskujemy c = - 2a. Otrzymujemy więc szczególną postać potencjału prędkości:

®^(x’ ₊ y²-2z²)

Składowe prędkości są następujące:

V

X

30

= — = ax, ox

30

3z

- -2az.