Cialkoskrypt 1

180 3. Kinematyka płynu

Zatem linie prądu są trajektoriami ortogonalnymi układu linii ekwipotencjalnych, to znaczy linie stałych wartości O przecinają się z liniami stałych wartości \y pod kątem prostym.

Potencjał zespolony i prędkość zespolona

Jako że funkcje O i Y spełniają warunki Cauchy’ego-Riemanna, funkcje <I> i 'P są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną pewnej funkcji analitycznej:

f(z) = O + PP.

I na odwrót: każda funkcja f(z) zmiennej zespolonej z wyraża pewien dwuwymiarowy przepływ cieczy doskonałej; część rzeczywista tej funkcji jest potencjałem prędkości, a urojona - potencjałem prądu (funkcją prądu).

Potencjał zespolony f(z) ma w każdym punkcie badanego obszaru pochodną:

df_ao .ay

dz dx dx dy

- iv,

która nosi nazwę prędkości zespolonej z prędkością przepływu.

Zastosowanie zmiennej zespolonej do badania płaskiego ruchu potencjalnego

Jeżeli O i 'P są dowolnymi funkcjami x i y, to każdej wartości x + iy musi odpowiadać jedna wartość lub więcej <ł> + PP . Z powyższego równania mamy (rys. 3.7):

2 2 v: + v;

V? +

dw _    (

dz ^W ^

V^v*+^vy y[

= yjv²x + Vy -(cosp-i-sinp) =    + v²y -e ^lP = v-e~^lp,

(3 = arc tg

Zgodnie z przyjętą nomenklaturą, tę pochodną będziemy nazywać prędkością zespoloną i oznaczać v . Natomiast sprzężoną z nią liczbę zespoloną:

v - v_x + iv_y = v e^lp

będziemy nazywać po prostu prędkością przepływu, stosownie do jej sensu fizycznego. Wprowadźmy układ biegunowy:

Związki między składowymi prędkości w układzie prostokątnym i w układzie biegunowym są następujące:

v_x = v_r cos 0 - v₀ sin ©, v_y = v_r sin 0 + v₀ cos 0.

Stąd

-= v_x - iv_y = v_r (cos 0 - i sin 0) - i v₀ (sin 0 + i cos 0) =

dz

= (v_r- i-v₀)-(cos© - i • sin0), a po wykorzystaniu wzoru Moivre’a

dw

dz

^ie=v -

3.8* Strumień objętości płynu

Dla zdefiniowania pojęcia strumienia objętości wyznaczymy objętość płynu, jaką zajmie ciecz po chwili At, jeśli jej prędkość opisuje funkcja v(x, y, z, t).

Rys. 3.8. Szkic do wyznaczenia strumienia objętości płynu

Ciecz poruszająca się z punktu a do punktu b transportuje objętość płynu zawartą w graniastosłupie (rys. 3.8), którego podstawy zawierają punkty a i b. Objętość ta wynosi (s(b)~ s(a))- AA (jest to wartość „nieco” przybliżona ze względu na