Cialkoskrypt9

216 3. Kinematyka płynu

a stąd

t + x — = t + yjl + t² dx

dt _ dx

Vl + t² ^

dt t+Vi+1^-" i

Vl +1² a/i + t² t + Vl + t'

t

~dt =

^ — = d Inf t + Vl + t^!\

a/i +1²~),

więc po scałkowaniu otrzymujemy:

lnx=ln(^t + VlTt² j-lnC²,

— = d ln(t +

X

£j ._2[Z| y + y² = x²

Po obustronnym podniesieniu do kwadratu:

. 4

y =

t' -

2|Z

-C²

f 2 A

A-c²

vC² ,

Jest to równanie paraboli.

Ad 2.

dx dy dy _ 2xy

x~-y 2xy dx x - y~ Z _ Z

.2 .,2

Po podstawieniu y/x = t otrzymujemy:

2t

dy    dt 2

— = t + x — = dx

dx l__t 1-t²’ t

dt 2t -1 +1³ t + t³ t(l + t²)

dx 1-t²    1-t² (l + t)(l-t)’

dt-

(1 + t)(l -1) dx

t(l + t²) x

ale

A«r

1 A Bt + C _r _    ₁

— = — + 7——, czyli B = -1

C = 0

dt 2tdt dx t 1 + t² x

więc po scałkowaniu otrzymamy:

lnt - ln(l +1² )= lnCx,

1 -t-1 *

= Cx.

Wracamy do zmiennych wyjściowych i mamy:

yx

= Cx => —^Y-- = C => y = c(x²+y²), x +y    ^v ’

x² + y² - — = 0, C

1

1

^{x +ly}’x ⁼

Równanie linii prądu jest równaniem okręgu o środku leżącym na osi y.

ZADANIE 3.10.22

Dane jest nieustalone płaskie pole prędkości o składowych: v_x=x + t, v_y=-y + t,    v_z=0.

Znaleźć równania:

1.    linii prądu,

2.    linii toru,

3.    pola przyspieszeń.