DSCF2528

114 4. IV\|ędc i pewne Włunonu pi

i cmtogtoft&fo

?«»,<.'# U,+C, BjCł+CjC, Me||    •

6b. Uwzględniając uwagi ,• pUhktówjS i 6a, otrzymujemy następującą witrioli szul ncgo p rn w d opod 0 bionst w n:

Hi

SSi

*0,36.

I’hzvm,.mM.'.2../ urny. w WI ó rej jest b kul bitilych i | kul czarnych, wyjęto loJH jedną kulę. JnWfcst teraz prawdopodobieństwo wylosowaniu kuli białej, jeśli nic znumy koloru kuli poprzednio wylosowanej.

Rozwiązanie. Losowanie kuli z urny o ustalonym składzie pociągu zu sobą nuto pojącą alternatywę wykluczających się Zdarzeń: albo wylosowano kulę białą - zdarzeni#! H. albo kulę czarną -- zdarzenie C.

Zdarzenie Z. o którym mowa w zadaniu, polega nu wylosowaniu kuli białej w na-stępnym ciągnieniu. Mamy zatem

Z = BB albo CB,

co daje

I' -    ■■ "z -    ^    ;    - -i

6-1

: +

6 (6 — I + c)

6 + c b+c—I 6+c 6 + c — 1 (6 + c)(6 + c —1) 6 + c

Otrzymane prawdopodobieństwo jest takie samo, jak przed wylosowaniem pierwszej ■ kuli z urny.

Zadanie to można również rozwiązać posługując się algebrą zdarzeń. Korzystając U z aksjomatów IX i X mamy mianowicie

Z«*BB + CB-«B(B + C)=B'/ = B.

■ 6

Zatem P(Z)«J^>(B)<=-+—-■

fi \v

Przykład ».7.3. / urny. w której jest b kul białych i c kul czarnych, wyjęto losowo I kulę i nic oglądajątpjćą wrzucono do drugiej urny, w której jest b, białych i c, czarnych I kul. Jakie będzie teraz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny? I Rozwiązanie. Zdarzenie B. polegające na wylosowaniu kuli białej z drugiej urny, I może zajść na skutek jednego z dwu wykluczających się zdarzeń E_x i E₂:

B^Bj + Bj,

przy czym zdarzenie !■', polega na wylosowaniu kuli białej za pierwszym i drugim razem, I

pilili

a zdarzenie E_a polega na wylosowaniu kuli białej tylko za drugim razem:

£,=B,B,

(U, oznacza zdarzenie polegające n« wylosowaniu kuli nie białej za pierwszym razem Myli w lym przypadku kuli czarnej).

Wobec powyższego otrzymujemy

0₂ + Bi fl₂,

u żalem

P(B)~P(Bi Bjj-I-S) fl₂)*»/>(0, B₁)+P(B_I B,|»

•=/'(»,)'P(fl₂|fl,H Pb0,)-P(/ł₂|lV*>

6 Ai + 1    c    &i

^ "h+c ftj + l+C| 6+c b_t +1 +C|

Pkzyklai/4.7.0w jednej urnie znajduje się 6, kul białych i c, kul czarnych, w drugiej urnie — białych i c₂ kul czarnych, w trzeciej - A, kul białych i r, kul czarnych. Zakładamy, Że wszystkie urny sti jednakowe i losujący nie wie, do której urny sięga. Obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej z dowolnej urny.

Rozwiązanie. Zdarzenia, polegające na wylosowaniu odpowiedniej urny, oznaczmy przez Ai, A_lt A₃.

Zdarzenie, polegające na wylosowaniu kuli białej, oznaczmy literą B.

Zdarzenie Z, o którym mowa w zadaniu, polega na wylosowaniu najpierw odpowiedniej urny, a następnie na wylosowaniu z niej kuli białej. Realizuje się ono na skutek jednego z trzech wykluczających się zdarzeń

A, i B, A₂ i B, Ai i B, tj.

Z-A,B + A₂B + A₃B.

Po uwzględnieniu wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy P(A_iB)^P(A_i)-P(B\A_l)^l_r⁾-ⁱ ■ ,

gdyż szansa natrafienia na każdą z urn jest jednakowa, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest równe stosunkowi kul białych do wszystkich kul w tej urnie. Analogicznie:

P(A₂B)=P(A_ł)'P(B\Ai)~\'_r-i~,

b₂+c₂

P(AiB) m P(Aj)■ P(B\Ai) m |;• — ³- -.

6_} + c,

Ostatecznie:

P(Z)

.iiJJ

b₂+c₂ ł>₃+c₃/

j