DSCN1090 (2)

d są długościami kolejnych boków dowolnego czworokąta wypukłego, natomiast e oraz/długościami jego przekątnych, to ac + bd > ęf.

5.36.    Wykazać, że pole czworokąta, w który można wpisać okrąg i na którym można opisać okrąg, równa się pierwiastkowi z iloczynu ■ długości jego boków.

5.37.    Wykazać, że jeśli miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego są równe, to suma odległości dowolnego punktu wewnętrz- , nego wielokąta od prostych zawierających jego boki jest dla tego wielokąta stała.

5.38. Przez punkt H dzielący wysokość trapezu ABCD w stosunku m: p poprowadzono prostą równoległą do podstawy AB, która przecina boki BC i AD odpowiednio w punktach K i L.

Wykazać, że

IjaiM

m + p

gdzie a = \ AB\, b — |CD|.

5.39. W trapezie ABCD. gdzie /IB U CO i \AB\ = a, |CD| = b, poprowadzono dwa odcinki EF i GH równoległe do AB, których końce E i G oraz F i H należą odpowiednio do AD i BC.

Obliczyć długości tych odcinków wiedząc, że podzieliły one dany trapez na trzy figury o równych polach.

5.40. W trapezie ABCD, w którym \AB\ — a, \CD\ = b oraz wysokość opuszczona na podstawę AB ma długość h, poprowadzono prostą równoległą do AB. Prosta ta podzieliła dany trapez na dwie figury o równych polach.

W jakim stosunku prosta ta podzieliła wysokość trapezu?

5.41. Przez punkt P przecięcia się przekątnych trapezu ABCD poprowadzono prostą równoległą do podstawy AB tego trapezu, która przecina jego boki BC i AD odpowiednio w punktach K, L. Wykazać, że

2 ab

\KL\ =

a + b’

gdzie |AB| = a i |C£>| = b.

5.42.    Przekątne AC i BD trapezu ABCD, w którym AB ||CD przecinają się w punkcie O.

Wiedząc, że

* ^KD0C~^2>

obliczyć pole trapezu ABCD.

5.43.    Obliczyć pole trapezu prostokątnego, w który można wpisać okrąg, mając dane długości jego podstaw a i b.

5.44.    Odcinki AB i CD są podstawami trapezu ABCD. Prosta AD jest styczną do okręgu opisanego na trójkącie BCD. Obliczyć długość przekątnej BD, mając dane: |/1B| = a, |CD| = b.

5.45.    Przez punkty A i B, które są końcami średnicy pewnego okręgu poprowadzono styczne a i 6 do tego okręgu. Następnie poprowadzono prostą styczną w dowolnym punkcie P tego oktęgu różnym od A i B, która przecina proste a i b odpowiednio w punktach C i D.

Wykazać, że iloczyn |CP|-|PD| jest stały niezależnie od wyboru punktu P.

5.46.    Na półokręgu, którego średnicą jest odcinek AB, obrano punkt S(S j=A i S =f=B), którego rzutem prostokątnym na prostą AB jest punkt D. Następnie narysowano okrąg styczny do prostych SD i AB i mający jeden punkt wspólny z lukiem /1S.

Wykazać, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty S, B i punkt styczności narysowanego okręgu z prostą AB, jest równoramienny.

5.47.    W okrąg o promieniu długości 1 wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny, mające wspólny wierzchołek. Obliczyć pole figury będącej częścią wspólną obu tych figur.

5.48.    W okrąg wpisano trójkąt równoboczny ABC, a następnie obrano na okręgu punkt D różny od wierzchołków trójkąta.

37