DSCN1104 (2)

>3.

>3.

2w

— < w² - 3, czyli jeśli n > -2^3

to zachodzi nierówność

„( A⁵

ownosc I w--l

' ' (^{l 2w} \

Obie nierówności zachodzą jednocześnie, gdy n >

1.27.

^s=i ⁺ 5⁺3 ⁺ "' ⁺ iT^T ⁼ (*⁺ «—~0 ⁺ G ⁺ n—^)⁺

+(l+dó)⁺"⁺(Ó⁺EI7;)'

2 2

Ponieważ n jest liczbą nieparzystą, więc n - 1 jest liczbą parzystą,

zaś -(n — 1) jest liczbą naturalną.

Wobec tego n

(n - 1) (n + 1)’

n — 1    2(n — 2)    3(n — 3)

ale n = 2k + 1, gdzie keN_+i więc

4n _ 4(2k + 1)

(n - 1) (n + 1) “ 2(k + 1) 2k ⁼

n
l 2)	{ 2 ^+l

2 k + 1 k(k + 1)

Ostatecznie s

yiy

\n-l • 2(n — 2) * 3(n-3)

isfpiS

Ponieważ każdy z mianowników:

"- 1. An - 2X 3(„ - 3X „ ,    \

jest dzielnikiem iloczynu 2 • 3 • 4 •... * (n — 1),

więc iloczyn, o którym mowa w treści zadania, jest podzielny przez n.

1.28. Dla każdego i — 1, 2, 3,..., «, mamy:

(a, - b_t)² 0, czyli

af — 2a_{ • b_{ + bf ^ 0.

Dzieląc obustronnie powyższą nierówność przez b, > 0 (z założenia), otrzymujemy

*¥-2a_{l +} b,>0:

skąd

^20,-6,.

Wobec powyższego mamy:

foi) foz) bi b₂

(a.)

+ - + -t— ^ 2 (a, + a₂ +Ig + aj -{b | + &2 4" ••• 4" b_n) = 2 — 1 = 1.

1.29. Wskazówka. Podnosząc wszystkie człony danej nierówności do kwadratu, po przekształceniach, otrzymujemy

n--<y/n²- l < n.

Wystarczy teraz pokazać, że

Podnosząc obie strony powyższej nierówności do kwadratu otrzymujemy

^{4    4} i

9"~8l^>1’

stąd 36n > 85, co jest prawdą dla każdego n > 2.

1.30. Dzieląc liczbę n przez k z resztą otrzymujemy n = kp + r, gdzie 0    < k, r, peN.

i — Zbiór zadań.. 65