DSCN1141

stąd

(a + c)(d + b) > 4.

Korzystając teraz z nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej, mamy

1 i c) + (d + b) i /, , ---j    | ₀

-2-> ~J{a + c)(d + 6) Js 2,

a stąd

a + 6 + c + d^4, co daje tezę.

5.34. Rozpatrzmy najpierw rodzinę odcinków łączących wierzchołek trójkąta z przeciwległym mu bokiem. Zbiór środków tych odcinków jest odcinkiem łączącym środki pozostałych boków tego trójkąta.

Przejdźmy teraz do czworokąta ABCD. Niech E i F będą środkami boków AD i BC. a G i H niech będą środkami przekątnych AC i BD (rys. 5.34).

D_

Rozpatrzmy naszą rodzinę odcinków. Jeśli końcem jednego z nich jest wierzchołek A, to jego środek leży na EG. Jeśli końcem jednego z nich jest punkt B, to jego środek leży na HF. Weźmy pod uwagę odcinek naszej rodziny o końcu XeCD. Niech {y} = XA r\ EG oraz {Z} = XBr> FH. Wtedy jego środek leży na odcinku YZ zawartym w równoległoboku EHFG.

Zatem zbiór środków naszej rodziny odcinków jest zawarty w równoległoboku EHFG.

Jeżeli na odwrót mamy dany punkt P należący do EHFG, to poprowadźmy przez punkt P odcinek QR\\GF (gdzie QeEG, R e HF). Niech S będzie częścią wspólną prostej AQ i odcinka DC, a T niech będzie częścią wspólną prostej CR i odcinka AB. Wtedy P jest środkiem ST.

Pokazaliśmy, że szukanym zbiorem jest równoległobok EHFG.

1^5*1 *

* ^t,

' ^

**u

Q6

B Rys. 5.35

*t. i

1 O*^¹

I

9    ™