DSCN1156 (3)

prostą nachyloną do BC pod kątem o mierze 2 <OCB. Punkt przecięcia się narysowanych półprostych jest trzecim wierzchołkiem szukanego trójkąta.

6.17.    Wskazówka. Mając dany promień okręgu opisanego na trójkącie i jeden z kątów wewnętrznych łatwo konstruujemy bok trójkąta przeciwległy do tego kąta. Jest to cięciwa okręgu odpowiadająca kątowi dwa razy większemu. W ten sposób problem sprowadziliśmy do zadania 6.16.

6.18.    Wskazówka.

1)    Prowadzimy prostą równoległą do AB w odległości od niej (h_AB - wysokość opuszczona na bok AB).

2)    Prowadzimy prostą równoległą do BC odległości od

niej (łi_BC - wysokość opuszczona na bok BC)

Szukanym punktem jest punkt wspólny obu poprowadzonych prostych. Jest to zarazem punkt wspólny środkowych trójkąta.

6.19.    Wskazówka. Jedną z figur, na które dzieli dany trójkąt szukana prosta, jest trójkąt. Załóżmy, że jest nim trójkąt MNC. Oznaczmy jego wysokość opuszczoną na bok NC przez fi,, zaś h niech oznacza wysokość trójkąta ABC, opuszczoną na bok AC. Wobec tego

Skąd

|NC| h \AC\ H 2/i,'

NC jest czwartym odcinkiem proporcjonalnym do odcinków AC, h i 2h_i, konstrukcja więc jest oczywista.

6.20. Przypuśćmy, że podzieliliśmy trójkąt ABC na 3 części o równych polach. Jedna z tych części musi być trójkątem. Przypuśćmy, że jest nią trójkąt AML ,LeAB (rys. 6.20). Wówczas pole trójkąta

AML jest równe - pola trójkąta ABC.

c

\AL\ ■ \MM'\ = ^\AB\ ■ \CC’\.

Z założenia, że LeAB wynika, że \AL\ < \AB\. W takim razie musi być \MM'\ %. - |CC'|. Stąd wynika nierówność

\AM\3*^\AC\.

2 1

Nietrudno zauważyć, że jeśli \AM\ > - \AC\ (tzn. |CAJ| < -jACfl to wówczas IĄ AB. Wobec tego należy rozważyć 2 przypadki 1) Jp|c| < \AM\ =£ |\AC\.    2) \AM\ < ^ \AC\.

-, następnie w podobny sposób konstruujemy

\Ax\m

W przypadku 1) najpierw konstruujemy odcinek /IZ-dhigości: l\AB\-\CC'\

3 \MM’\ odcinek AK, znajdując punkty L i K.

W przypadku 2) obie proste przetną bok CB w punktach K i L. Załóżmy, że L e CK. Wtedy najpierw konstruujemy punkt L w taki sam sposób, jak w przypadku 1). Punkt K znajdujemy na podstawie równości |GK| - 2|CL|. Zadanie ma zawsze jedno rozwiązanie.

6.21. Przypuśćmy, że skonstruowaliśmy trójkąt ABC spełniający warunki zadania (rys. 6.21). Wtedy, na podstawie zadania 5.63, stwierdzamy, że do prostej zawierającej wysokość h należy środek O okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkt D styczności tego okręgu z bokiem BC łatwo możemy skonstruować. Jest on bowiem punktem wspólnym dwóch okręgów: okręgu, którego

169