DSCN1163 (2)

Rys. 6.42

' my w ten sposób trójkąt prostokątny OSF, w którym znamy długość trzech boków:

|0S| | d, |0£| i a, |SF| = b.

Ponieważ

|GB|² = r² - |OG|², \CE\ = |GB|

|C£|² =R² - |S£|², |S£| + |OG| = |SF|, więc R² - r² = (|S£| - |OG|)(|S£| + |OG|).

Stąd po przekształceniach otrzymujemy

|S£| - |OG| =    ⁺ r)l^R ~ ^f) _{= c}_

b

Odcinek możemy skonstruować i wówczas mamy j\SE\ - |OG| = c ||S£| + |OG| = b.

skąd |S£| = -(b + c). Teraz konstrukcja jest już oczywista.

6.43. Załóżmy, że szukaną prostą jest prosta p (rys. 6.43). Poprowadźmy przez punkt P styczną z okręgiem w punkcie S. Korzystając z twierdzenia o prostej stycznej i siecznej mamy:

|PS|² = |/tP|'|flP|.

Ale \AB\ = |PB|, więc |PS|² = 2|PB|². zatem \AP\ = _y/2-\PS[.

Ekstremalnym przypadkiem położenia punktów A, B są punkty A' i B\ tzn. punkty wspólne prostej OP z danym okręgiem.

Rys. 6.43

Wówczas |i4'B'| = \B'P'\ = 2r, gdzie r jest promieniem danego okręgu. Wtedy |OP| = 3r, a stąd wynika, że zadanie ma rozwiązanie, jeśli \OP\ < 3r.

1)    jedno, gdy |OP| = 3r,

2)    dwa, gdy |OP| < 3r.

6.44. Wskazówka. Przypuśćmy, że skonstruowaliśmy żądany trójkąt i że jest nim trójkąt przedstawiony na rys. 6.44.

Bok BC tego trójkąta jest także bokiem trójkąta BOC, w którym |BO| — |CO| = r i | *K BOC| = 2<x. Zatem możemy skonstruować odcinek, którego długość równa się |BC|. Następnie korzystając z zadania 6.39 możemy skonstruować najpierw prostą PB. a potem A ABC. Warunkiem koniecznym (ale nie wystarczającym) zadania jest to, by a + p <n (patrz dyskusja rozwiązalności zadania 6.39).

6.45. Przypuśćmy, że szukanym sześciokątem jest sześciokąt ABCDEF i że | < EDC\ = a (rys.6.45). Niech C' i D' będą punktami styczności boków CD i DE z okręgiem. Wówczas trójkąty OD'D i OC'D są

183