DSCF6540

36

Otrzymany rezultat nie umożliwia jednak obliczenia o*, gdyż nieznane pozostaje a_x. Rozważmy więc zamiast nieznanych błędów e„ znane różnice d, pomiędzy wartością średnią i wynikiem i-tego pomiaru: d_t = x,— x. Średnim odchyleniem kwadratowym będziemy nazywać wielkość s_x = -Js²,

gdzie s²x =    Z porównania (4.2) i (4.3) mamy: e, — E = x_l — x = d_l.

n

Wobec tego średnią wartość kwadratu odchylenia wyniku od średniej arytmetycznej można zapisać w postaci:

i = ¹-ld², = ¹-l_J(e_l-E)² = ±_iY_ie^zl- W    §1

Otrzymany rezultat odnosi się do pojedynczej serii n pomiarów. Po

a² n — 1

uśrednieniu wielu serii otrzymamy: |||| = <e²> - <£²> = a\ —    = — o_xy

oraz poszukiwany związek pomiędzy nieznaną wariancją rozkładu i mierzalną wartością <s²}:

nH| §9g    ^

Jak widać, wartość oczekiwana <s²> nie jest w tym wypadku równa wartości ocenianego parametru, czyli a\ (współczynnik w relacji wiążącej obie wielkości nie jest równy jedności, lecz (1 — 1/n). O takiej ocenie mówimy, że jest obciążona. Nieobciążoną oceną wariancji jest n{s_x)/(n - 1). Ponieważ w dalszym ciągu nieznana pozostaje wartość <s²>, jako jej ocenę wykorzystamy s². Nieobciążone oceny a\ i a\ uzyskują wówczas postać:

h-Ą-

n -1 (n -1)    n

4.1. Niepewność w znajomości wartości średniej

Zapiszmy otrzymane przed chwilą wyniki w najczęściej spotykanej formie:

«r =

(4.10)

B

(4.11)

gdzie 5_X nazywa się czasem średnim błędem kwadratowym pojedynczego pomiaru. Termin „błąd” może być mylący, ponieważ s_x obliczone na podstawie skończonej próbki n pomiarów jest oceną odchylenia standardowego a_x rozkładu reprezentowanego przez tę próbkę; s_x jest więc miarą szerokości (rozmycia) rozkładu i może być w szczególności duże dla precyzyjnych pomiarów (czyli małych „błędów”). Dlatego s_x będziemy nazywać dyspersją próbki, as? - wariancją próbki. Z kolei s_it charakteryzujące niepewność w znajomości wartości średniej zasługuje na nazwę niepewności pomiarowej. Skoro niepewne są wyniki, trudno oczekiwać, że pewna okaże się niepewność w ich znajomości. Można sprawdzić (por. np. [3]), że względna „niepewność niepewności” wyniku ma postać:

1

>/2(n—1)

(4.12)

Z (4.12) wynika, że dla niewielkiej liczby pomiarów n = 4 niepewność w znajomości s osiąga 40% i pozostaje znaczna, bo bliska 5%, nawet dla bardzo dużej próbki, zawierającej n = 200 pomiarów. Jest to argument przeciwko nadmiernej trosce o „dokładność” przejawianej przy zapisie niepewności, widać bowiem, że na ogół wystarcza przytoczenie jednej cyfry znaczącej.

Przypuśćmy, że wśród n wyników pomiarów wielkości X, wynik x_t powtarzał się n^-krotnie (j = 1, 2, ..., k). Oczywiście spełniony jest związek

Y,ⁿj ⁼ n, ^w którym sumowanie ze względu na liczbę wyników różnych

J=i nktf&mt

kategorii (klas) k daje łączną liczbę wyników n. Wartość średnią obliczamy w poznany wcześniej sposób:

x

1

n

tx_t = W *jXj = ln_jx_J/Y,n_j

1=1    “j=i    i    i

(4.13)

Po podstawieniu /_J = n_j/n(/‘j nazywa się częstością względną) ostatnie wyrażenie można zapisać w postaci:

(4.1⁴)

j=l

Wartości Xj we wzorze (4.13) można interpretować jako średnie wartości serii pomiarowych o długościach n_; (/' = 1, 2, ..., k); oznaczmy je symbolem Xj\