DSCF6544

44

obszar przyjęcia pole a a

0

Rys. 5.2. Obszar przyjęcia i obszar odrzucenia hipotezy dla testu y²

Jeśli hipoteza zerowa polega na przypuszczeniu, że próbka doświadczalna {/} reprezentuje pewien rozkład modelowy tj. H₀: {f] =/o. wówczaj hipoteza alternatywna ma postać: H{. {/} #/₀. Hipotezę odrzucamy (przyjmując tym samym Hj), jeśli wartość X² trafia do obszaru krytycznego (powierzchnia zacieni o wan a na rysunku powyżej).

5.2. Test Studenta t

Proste kryterium sprawdzania hipotez dotyczących wartości średniej populacji w przypadku nieznanej wariancji jest oparte na rozkładzie t. Wymagane jest przy tym założenie normalności badanych rozkładów.

Jeśli opierając się na wynikach {*,}, (i = 1, 2, ń) sprawdzamy hipotezę zerową dotyczącą wartości średniej w postaci H₀: m = ji₀, wówczas należy j zbadać wartość zmiennej £₀, określonej następująco:

(5.6)

gdzie x i s² oznaczają odpowiednio średnią i wariancję próbki. Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa, wówczas zmienna t₀ ma rozkład t Studenta z k = n — l stopniami swobody. Hipotezy alternatywne mogą mieć jedną z trzech postaci (w nawiasach podano wartości prawdopodobieństwa odpowiadającego obszarowi krytycznemu):

^Ht ‘ĘMm (^p=iplf o < iii

{P — Proh(t₀ > tfci-o)},

H_i:p<p₀i Hi-u* li₀\

{P = Probit^i-,/2 <t₀< t_fca/2)}.

Nieco trudniejszy problem polega na zweryfikowaniu, na podstawie dwóch serii wyników: {jc}¹*} (i = 1, 2, n) oraz {xj²⁾} (i = 1, 2,    n₂),

pochodzących z rozkładów N(p_u a²) i N(p₂, a²) o nieznanych średnich i wariancji, hipotezy H₀: p_t = p₂, wobec hipotezy alternatywnej H ₂: p_t ¥=p₂. Nieobciążonym estymatorem wariancji jest wówczas:

s²

I (x|¹>-x^,1>)²+ t (xi²>-x‘²>)² i=i    i-i

]

(5.7)

Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa, wówczas zmienna:

(5.8)

x(^ł>-x^l2> r-t₀ =---V" i + ⁿ2

podlega rozkładowi Studenta z n_l + n₂ — 2 stopniami swobody. W przypadku próbek liczniejszych od 20-^30 zmienna t₀ ma w przybliżeniu rozkład normalny (por. ćw. ST-2).

Najważniejszy praktycznie jest przypadek zmiennej losowej podlegającej rozkładowi o nieznanej średniej i nieznanej wariancji. A priori spełniony jest związek:

Prob(t_k. i -«/₂ <    ^    < t«/₂) = 1 — a; k = n—1    (5.9)

|j§§

Po wykonaniu pomiarów, zarówno x jak i s_x nie są już dłużej „zmiennymi”; stają się znanymi liczbami. Prawdopodobieństwo określone przez (5.9) „degeneruje się” do 0 lub 1; jeśli wybrać małą wartość poziomu istotności, której odpowiada szeroki przedział, „ufamy”, że jest to raczej 1 niż 0. W tym znaczeniu mówi się o przedziale ufności. Rzeczywista wartość średnia p trafia do przedziału ufności z prawdopodobieństwem 1 — a.

_Probfx-^sJ^_t<p^x + ^S-^^| = 1-a, albo \ Vⁿ    vⁿ

S_xtk-.*I2\

Jn )

(5.10)

x±