DSCF6558

72

400 K

500 K

T

4

i

300 K

Rys. 3. Przekrój poprzeczny rury z cieczą (wymiary podano w dowolnych jednostkach)

4. Zastosowanie

Szereg zagadnień fizycznych prowadzi ostatecznie do konieczności rozwiązania równania Poissone’a lub jego szczególnej postaci 1. Jest to m. in. problem obliczenia naprężeń przy skręcaniu sprężystym prętów, rozkład potencjałów na powierzchni przewodzącej (por. ćw. E-l), a także zadania dotyczące stacjonarnych strumieni ciepła w ciele dwuwymiarowym, podobne do rozwiązywanych w ćwiczeniu. W przypadku korzystania z komputera, mamy zwykle do dyspozycji dostatecznie uniwersalny program, za pomocą którego można rozwiązać całą tę szeroką klasę problemów.

5. Wykonanie ćwiczenia

Wykonanie ćwiczenia w rozszerzonym wariancie, polega na napisaniu (przy pomocy prowadzącego zajęcia) i uruchomieniu programu wg schematu zamieszczonego w opracowaniu. Wersja uproszczona ogranicza się do wprowadzenia danych do gotowego programu i dostarczenia wyników.

Podobnie jak zagadnienie omówione wcześniej, również problem występujący w zadaniu przeznaczonym do wykonania, opisywany jest w stanie równowagi przez równanie Laplace’a. Treść zadania jest następująca: „Przez długą rurkę, o przekroju przedstawionym na rys. 3, przepływa ciecz o temperaturze 500 K. Rura zanurzona jest do połowy wysokości w ośrodku chłodzącym tak, że temperatura jej dolnej części wynosi 300 K. Zakładamy, że temperatura górnej połowy rośnie liniowo do 400 K. Znaleźć rozkład temperatur w rurze”.

Pytania

1.    Uwzględnienie warunków brzegowych jest ułatwione zarówno w przykładzie ilustrującym metodę obliczeń, jak i w zadaniu. Na czym polega ułatwienie?

2.    Jak można zabezpieczyć się przed nadmierną stratą czasu maszynowego, pojawiającą się przy zbyt dużej liczbie relaksacji (zbyt małe e)?

MN-2. Obliczanie momentu bezwładności bryły metodą Monte-Carlo [14]

1. Wstęp

W obliczeniach wykonywanych numerycznie zachodzi często potrzeba modelowania procesów przypadkowych bądź to dlatego, że posiadamy zbyt mało informacji o rzeczywistym przebiegu zjawiska, bądź też dokładny opis byłby zbyt złożony i wprowadzenie elementów losowych jest dogodne ze względów praktycznych.

Proces, w którym odtwarzamy w przybliżeniu realne zjawiska nazywa się symulacją. W praktyce posługujemy się w tym celu komputerem, chociaż w prostych przypadkach możliwe jest użycie kalkulatorka funkcyjnego, tablic liczb losowych, a nawet urządzeń mechanicznych takich jak: kostka do gry, ruletka itp. Metody, w których dokonuje się obliczeń przy użyciu liczb losowych o zadanych rozkładach, nazywa się metodami Monte-Carlo (ta nazwa pojawiła się pod koniec II wojny w związku z wykorzystaniem liczb losowych do modelowania dyfuzji neutronów).

Metody M-C można stosować zarówno do opisu procesów, które zgodnie ze stanem naszej wiedzy są „przypadkowe” - niemożliwe do przewidzenia (np. fakt nastąpienia bądź nie nastąpienia w zadanym przedziale czasu rozpadu jądra promieniotwórczego o znanym średnim czasie życia), jak i do obliczeń, w których w rzeczy samej element losowy wprowadzony został sztucznie, ze względu na szybkość lub łatwość realizacji. W ten sposób ocenia się np. wartość całek, nawet wielotysięcznowymiarowych, których w ogóle nie udałoby się policzyć tradycyjnymi metodami deterministycznymi.

W zastosowaniach praktycznych najczęściej wybiera się liczby losowe z rozkładu normalnego, Poissone’a i wykładniczego, w oparciu o rozkład