DSCF6569

94

powyżej tej powierzchni. Moment tych sił, dany przez wzór 5, jest w warunkach równowagi równy momentowi sił ciążkości:

94

El

= mg (l — x)

(6)

gdzie R jet promieniem krzywizny w otoczeniu przekroju C, ar odległością przekroju od miejsca zamocowania.

Promień krzywizny wyraża się znanym z podręczników analizy* wzorem:

i? =

li

fy

dx²

(7a)

Ponieważ krzywizna jest bardzo mała, czynnik w porównaniu z jednością:

można pominąć

^Rsfy

W

(7b)

stąd

d²y _mg(l — x) dx² El

dy

dy _mg dx El

lx--) + C

Z warunku — = 0 (dla x = 0) można znaleźć stałą całkowania C = 0.

Rozwiązanie ostatniego równania różniczkowego pozwala znaleźć ugięcie końca pręta y₀:

mgl³

mm

(8a)

• Patrz np. G. M. Ficbtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1964.

3 tJgifcie pręta obciążonego w środku

Rys. 13. Schemat układu do pomiaru współ-gyunifca sprężystości metalu metodą ugięcia

W przypadku, gdy pręt podparty jest na obu końcach i obciążony v środku, siły reakcji działające w miejscach podparcia mają wartość mg/2.

Jeśli pręt ma „długość” l (l oznacza odległość między pryzmatami; rzeczywista długość pręta jest oczywiście większa), to ugięcie w środku jest takie samo jak ugięcie pręta dwukrotnie krótszego, zamocowanego jednym końcem i obciążonego dwukrotnie mniejszą masą. Tak więc poszukiwane ugięcie otrzymamy podstawiając mg/2 i 1/2, w miejsce obciążenia i długości, do wzoru 8a:

(8b)

_ mgj^

^y° 48 El

4. Pomiary i opracowanie

Obliczmy teraz I dla przykładu przekroju prostokątnego (rys. 14).

y

Rys. 14. Obliczanie momentu sił przekroju prostokątnego

a/Z |

•>^{2 b} 2    1 1 a³ h

I = |y²4S = jy²dxdy = 2 | y²dy]dx II xj = —

o o