freakpp024

46

(ii - stałe wartości własne określane z warunku brzegowego,

T₀ - początkowa temperatura ciała.

Z wymienionych trzech przypadków wybrano jako przykładowe rozwiąza-

nie dla kuli.

3.1.2. Nieustalone przewodzenie ciepła w kuli

Różniczkowe równanie przewodzenia ciepła dla izotropowego ciała, nie zawierającego wewnętrznych źródeł ciepła, ma postać (3.1).

We współrzędnych sferycznych, zgodnie ze wzorem (1.19), operator V²T przyjmuje postać:

a²T 2 3T 3²T    1    1 3²T    1 3T

V“T = —+    _ct&v (3.5)

ar^{- r} ar 3(p- _r- _sj_n- (p _r² 0\j/~ _r- ay

gdzie: y - kąt w kierunku południkowym,

(p - kąt azymutalny.

Dla symetrii (przewodzenie w jednym kierunku), gdy

(3.6)

różniczkowe równanie przewodzenia ciepła przyjmuje postać:

dT

— = a

at

"a²T 2ai'

L -— +--

^ ar² r ar _y

(3.7)

Po wprowadzeniu bezwymiarowej współrzędnej £ = — (gdzie R - zewnętrzny

,    .    ...    T - T_f

promień kuli) oraz bezwymiarowej różnicy temperatury 0 =-—, zróżnicz-

^To ^_Tf

kowaniu i wyłączeniu stałych równanie (3.7) przyjmie postać:

a²© 2 a© _ r² a© aą^{2 +} \ aą " a at

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Wprowadzając liczbę Fouriera (czas bezwymiarowy), otrzymuje się:

9²©    2 30 _ 90

⁺ \    ~ 3F₀

a następnie

a²(^e) a(Ę.e)

aą² aFo

oraz

a²w _ aw

aą² aFo

gdzie W = ć,0.

Równanie (3.11) można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych. Zakłada się dwie funkcje: X = X(ę) oraz x = x(Fo) i poszukuje rozwiązania w postaci:

W = X(ą)x(Fo)    (3.12)

Po wykonaniu różniczkowania, podstawieniu do równania (3.11) oraz rozdzieleniu zmiennych otrzymuje się dwa równania:

—+li²X(^) = 0    (3.13)

ar

oraz

^2l + H²t(Fo) = 0    (3.14)

aFo

Uwzględniając rozwiązania równań (3.13) i (3.14) - (są to równania różniczkowe zwyczajne), ograniczoność rozwiązania oraz wymnażając stałe, otrzymuje się: