Geometria analityczna

Elementy geometrii analitycznej

Dla danych 2 punktów

A(x_A,y_A,z_A)

B(XB,yB,ZB)

AB = [xb-x_A,y_B -}’a_;zb-z_a]

k-AB = [k(xB-x_A),k(y_B - y_A),k(zB-z_A)] Jeżeli:

AA' =

•S-S = [xb,vb,zb\ to:

AA' -BB' =    -Vb,z_A-z_b]

AA’ = J(x_A)² + (y_A)² + (2^)²

Iloczyn skalarny:

o = [x_a,j>_a,z_a]

b = [x₆,j>6,z₆]

7! o b = x_a-x_b + y_ay_b + z_a-z_h

~ci ° b = Ićr

. —7

COS ^-(<2, S)

cos A. (a, b) =

Iloczyn wektorowy:

| <?| 6

~a y b =

—*	—>	—>
i	j	k	—>	Cly	Clz	—>	cix	ciz
cix	Cly	Clz	= i	by	bz	- j	bx	bz
bx	by	bz

+ k

Clx Cl

b x b

Pole równoległoboku:

P = Ćf x i Pole trójkąta:

P = \ ~a y. b loczyn mieszany:

~b)	O c
Clx	Cly	Clz
bx	by	bz
Cx	Cy	Cz

Objętość rónoległościanu:

v =

(a,b,c)

Objętość czworościanu:

(a,b,'c)

Płaszczyznę n przechodzącą przez punkt P(x₀j>o,zo) i prostopadłą do niezerowego wektora 7? = [ą,5. C] możemy opisać wzorem:

ą(x — xo) + -S(y — j>o) + C(z — zo) = 0 gdzie A² +B² + C² >0.

Dla danych dwóch niezerowych i nierównoległych do siebie wektorów v? = [a\,b\,c\] oraz v? = {cii,b₂,c₂\, równoległych do płaszczyzny, na której leży punkt P(x₀,yo,zo) postać parametryczna płaszczyzny ma postać:

r

x = x₀ + a\t+ a₂k <( y = y₀ + b₁t+b₂k dla t, k e IR z = z₀ + c\t + c₂k

Odległość między płaszczyznami równoległymi

Ax + By + Cz + D1 = 0 Ax + By + Cz + D₂ = 0 wynosi

d(xuK₂) =    !

Ja*+b²+c²

Jeżeli £>1 = D₂ to płaszczyzny pokrywają się.

Kąt między płaszczyznami przecinającymi się wynosi:

cos a =

n\dłT2    A\A2+B\B2’+C\C2

Ja]+B}+C] Ąa]+B\+C\

Prostą przechodząca przez punkt Po(xo,yo,zo) i równoległą do niezerowego wektora 7 = [a,b,ć] możemy zapisać w postaci równania parametrycznego

r

x = x₀ + at

<( y = >>o + bt I

Z = Zq + Ct

Jeżeli a,b,c * 0 to równanie prostej możemy przedstawić w postaci kierunkowej

X~XQ _ V~~V'Q _ Z~ZQ