m8 (2)

Rozdział 2

Wielomian charakterystyczny macierzy: w(A) = det(v4 - A/„)

Wartość własna macierzy: det(ą - XI„) = 0 Wektor własny odpowiadający wartości własnej A macierzy:

(A-XI_n)-x= 0

8. Znaleźć wrtości własne i wektory własne odpowiadające każdej z wartości własnej macierzy.

a )A =

2    -4

-3    1

w(A) = det(ą - XI„)

det

2    -4

-3    1

-A

1 0 0 1

det

f	2 -4		A	0	v	2-A -4
	-3 1		0	A	r	1 t—H m 1

(2 - A)(l - A) - 12 = A^{1 2} -3A+ 10 w(A) = A² -3A+ 10 Wielomian własny macierzy A² -3A+ 10 = 0 A = 49 JE = 7 Ai =    = 5

A₂ =    = -2

Wartości własne macierzy dla Ai = 5

	r o tn 1_		Xi		0
	1 tn o _1	J	X2		0

*i

X₂

0

o

2    -4

-3    1

-3 -4 -3 -4

Tworzymy układ równań

f -3xi - 4x₂ = 0 \ -3xi - 4x₂ = 0 -3xi - 4x₂ = 0

Xi = - yX₂

Xl		r H -f| c* 1 1_		1- -f| c* 1 1_
	=		= X2
X2		X2		1

Wektor własny dla Ai = 5

dla A₂ = -2

2 -4		-2 0		X\		0
-3 1		0 -2	)	X 2		0

0

0

4 -4    x i

-3 3    x₂

/ 4xi - 4x₂ = 0 \ -3xi + 3x₂ = 0 4xi - 4x₂ = 0 Xi = x₂

det

2-2 0		1- O o 1
1 -1 0	—	O O
3 -4 1		-1 O O 1
A -2 0		2-A -2
-1 -A 0		1 -1 -
-4 1 -	A	3 -4

2-2 0 1 -1 0 3 -4 1

\L

2-2 0 1 -1 0 3 -4 1

^r 2xi - 2x₂ = 0

<( xi — x₂ = 0 3xi - 4x₂ + x3 = 0

xi - x₂ = 0 Xi = x₂

3xi - 4x₂ + x₃ = 0 3xi - 4xi + x₃ = 0

Xi = X3

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Xj

x₂

_ j l

o

o

o

Xj

x₂

x₃

o

o

o

*1		X 2		i
	=		= X\
X2		X 2		i

Wektor własny dla A₂ = -2 2-2 0 e)A =    1-10

3 -4 1

Xj		Xi		1
x2	=	Xi	= X\	1
x3		Xi		1

Wektor własny dla Ai = 0

1

2

3

(2 - A)(—1 - A)(l - A) + 2(1 - A) = (2 - A)(—1 + A²) + 2 - 2A =

-2 + A + 2A² - A³ + 2 - 2A =

-A³ + 2A² - A = A(-A² + 2A - 1) = -A(A² - l)²

Wielomian własny macierzy

/Ai = 0

3

\A₂ = 1

Wartości własne macierzy dla Ai = 0