MG!27

1.4. Błąd średniej arytmetycznej pomiarów

Przy pomiarach jednakowej dokładności najbardziej prawdopodobną, najlepszą wartością mierzonej wielkości okazuje się średnia arytmetyczna wszystkich otrzymanych wyników pomiarów x_vx_v...,x_n

x_t +x₂

1 Y'

I - E *r

n _/=i

Każdy pojedynczy pomiar jest obarczony swoim własnym, większym lub mniejszym, błędem. Aby mówić o jakiejś wspólnej mierze błędu, należy podać odchylenie standardowe średniej

S = — o =

* A

1

n(n-l) ,.i

Eh-**)²-

(1.12)

Jeżeli zostanie uznane prawdopodobieństwo P = 99,73% jako „praktyczna” pewność, to wynik będzie się zawierał w przedziale

(1-13)

a ostateczny wynik badań zapiszemy w postaci

(1.14)

x = x. ± 3S_ . * *

1.5. Rozkład t-Studenta

Podany w punkcie 1.4 sposób wyznaczania granic, w których z określonym prawdopodobieństwem zawiera się prawdziwa wartość wielkości mierzonej, stanowi tzw. metodę klasyczną. Nie jest on zbyt ścisły przede wszystkim dlatego, że przyjęta jako błąd średni stała wartość o w rzeczywistości jest zmienną losową, zmieniającą się w poszczególnych seriach pomiarów. Rzeczywista wartość błędu średniego całej zbiorowości pomiarów, z których wykonano tylko jedną serię, nie jest znana.

W praktyce inżynierskiej dość często napotyka się olbrzymie trudności związane z uzyskaniem dużej próby n z 30 (względy ekonomiczne, czasochłonność pomiarów jtp.). Konieczne jest zastosowanie próby małej 10 s n < 30 lub bardzo małej n< 10. W obu przypadkach małych prób należy stosować rozkład /-Studenta. Porównanie rozkładów /-Studenta i Gaussa pokazano na rys. 1.3. W przypadku dużej próby n>30 można rozkład /-Studenta z dość dużą pewnością zastąpić rozkładem normalnym.

Obecnie omówione będą praktyczne zastosowania rozkładu /-Studenta. Rozkład ten umożliwia określenie przedziału ufności wielkości mierzonej w przypadku małych prób. Jeśli oznaczy się losową wartość błędu średniego poszczególnego pomiaru przez S (zamiast jak dotychczas przez o) i odpowiednią wartość błędu średniej arytmetycznej przez S_x (zamiast odchylenia standardowego średniej S_x), można zdefiniować zmienną losową /-Studenta

TT

(1.15)

gdzie:

n

C - iii_

*    \ n(n-1)

n

(1.16)

f lx)-rozkład Gaussa

-t,

S(tjk)-rozkład t-Studenta

x

Rys. 1.3

Przy założeniu, że wyniki pomiarów x_t mają rozkład normalny, można dowieść, że zmienna losowa / podlega rozkładowi /-Studenta S(t, k), który zależy tylko od parametru k = n - 1, a nie zależy od o.

Prawdopodobieństwo, że zmienna / jest zawarta w granicach (-t_v +/J oznacza, że nieznana wartość wielkości mierzonej jest zawarta w granicach