Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 8
Wykład nr 8
Zjawisko tarcia. Prawa tarcia.
Zjawisko tarcia. Prawa tarcia.
1
1
Literatura
Literatura
[1] J. Leyko: Mechanika ogólna
[1] J. Leyko: Mechanika ogólna
[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach
[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach
[3] J. Misiak: Mechanika ogólna
[3] J. Misiak: Mechanika ogólna
[4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej
[4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej
[4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej
[4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej
[5] Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś:
[5] Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś:
Wytrzymałość materiałów (Tom 1)
Wytrzymałość materiałów (Tom 1)
[6] P. Jastrzębski, J. Mutermilch,
[6] P. Jastrzębski, J. Mutermilch,
W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów
W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów
(Tom 1)
(Tom 1)
2
2
Zaliczenie
Zaliczenie
Ćwiczenia:
Ćwiczenia:
 obecności;
 obecności;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 kolokwia.
 kolokwia.
Wykłady:
Wykłady:
 zaliczenie pisemne.
 zaliczenie pisemne.
3
3
Program zajęć
Program zajęć
Zjawisko tarcia i prawa tarcia;
Zjawisko tarcia i prawa tarcia;
Charakterystyki geometryczne
Charakterystyki geometryczne
figur płaskich;
figur płaskich;
figur płaskich;
figur płaskich;
Elementy kinematyki i
Elementy kinematyki i
dynamiki;
dynamiki;
Zasada prac przygotowanych.
Zasada prac przygotowanych.
4
4
Więzy z tarciem
Więzy z tarciem
W więzach, w których nie
W więzach, w których nie
występuje tarcie, reakcja jest
występuje tarcie, reakcja jest
prostopadła do płaszczyzny
prostopadła do płaszczyzny
prostopadła do płaszczyzny
prostopadła do płaszczyzny
mg
mg
styku ciał (nacisk).
styku ciał (nacisk).
N
W więzach z tarciem
W więzach z tarciem
dochodzi jeszcze jedna
dochodzi jeszcze jedna
P
reakcja, równoległa do
reakcja, równoległa do
T
płaszczyzny styku.
płaszczyzny styku.
mg
N
5
5
Prawa tarcia statycznego
Prawa tarcia statycznego
Coulomba i Morena
Coulomba i Morena
Siła tarcia jest zawsze przeciwna do
Siła tarcia jest zawsze przeciwna do
występującego lub ewentualnego
występującego lub ewentualnego
ruchu.
ruchu.
Wielkość siły tarcia jest niezależna
Wielkość siły tarcia jest niezależna
Wielkość siły tarcia jest niezależna
Wielkość siły tarcia jest niezależna
od pola powierzchni stykających się
od pola powierzchni stykających się
ciał, zależy jedynie od rodzaju
ciał, zależy jedynie od rodzaju
powierzchni.
powierzchni.
Zależność między naciskiem i siłą
Zależność między naciskiem i siłą
tarcia:
tarcia:
T =� m� �� N
6
6
Współczynnik tarcia
Współczynnik tarcia
Rodzaj powierzchni m�
Rodzaj powierzchni m�
Stal-stal 0,15
Stal-stal 0,15
Stal-żeliwo 0,18
Stal-żeliwo 0,18
Stal-żeliwo 0,18
Stal-żeliwo 0,18
Żeliwo-żeliwo 0,45
Żeliwo-żeliwo 0,45
Metal-drewno 0,5-0,6
Metal-drewno 0,5-0,6
Drewno-drewno 0,65
Drewno-drewno 0,65
Skóra-metal 0,6
Skóra-metal 0,6
7
7
Tarcie statyczne i
Tarcie statyczne i
kinetyczne
kinetyczne
Tarcie występuje w przypadku
Tarcie występuje w przypadku
układów poruszających
układów poruszających
(kinetyczne) lub w układach,
(kinetyczne) lub w układach,
(kinetyczne) lub w układach,
(kinetyczne) lub w układach,
w których ruch jest potencjalnie
w których ruch jest potencjalnie
możliwy, ale jeszcze do niego
możliwy, ale jeszcze do niego
nie dochodzi (statyczne).
nie dochodzi (statyczne).
8
8
Tarcie statyczne
Tarcie statyczne
Tarcie statyczne
Tarcie statyczne
przeciwdziałające wystąpieniu
przeciwdziałające wystąpieniu
ruchu zwiększa się w wyniku
ruchu zwiększa się w wyniku
ruchu zwiększa się w wyniku
ruchu zwiększa się w wyniku
przyłożenia siły od 0 do wartości
przyłożenia siły od 0 do wartości
maksymalnej (tarcie całkowicie
maksymalnej (tarcie całkowicie
rozwinięte).
rozwinięte).
9
9
Kąt tarcia
Kąt tarcia
Kąt między reakcją pionową a siłą
Kąt między reakcją pionową a siłą
tarcia nazywany jest kątem tarcia:
tarcia nazywany jest kątem tarcia:
T
m� =� =tgf�
m� =� =tgf�
N
N
P
P
mg
mg mg
T
T
N
N R
N
R
10
10
Stożek tarcia
Stożek tarcia
Linia działania wypadkowej reakcji zawarta
Linia działania wypadkowej reakcji zawarta
jest wewnątrz, lub w przypadku tarcia
jest wewnątrz, lub w przypadku tarcia
całkowicie rozwiniętego, na powierzchni
całkowicie rozwiniętego, na powierzchni
stożka nazywanego stożkiem tarcia.
stożka nazywanego stożkiem tarcia.
stożka nazywanego stożkiem tarcia.
stożka nazywanego stożkiem tarcia.
P P
mg
mg
T
T
N
N
R
R
11
11
Tarcie ślizgowe - przykład
Tarcie ślizgowe - przykład
P
Psina�
a� a�
m
Pcosa�
m�
T
mg
mg
X =� 0: P cosa� -�T =� 0
=� a� -� =�N
��
��
��Y =� 0: P sina� +� N -� m�� g =� 0
T =� m� �� N
Prawo tarcia:
Prawo tarcia:
N =� m�� g -� P sina�
m� �� m�� g
P =�
m� m �� g -� P sina� =� P cosa�
(� )�
m� sina� +� cosa�
12
12
Tarcie cięgien
Tarcie cięgien
o bloczek nieruchomy (1)
o bloczek nieruchomy (1)
Zależność miedzy siłami w cięgnie
Zależność miedzy siłami w cięgnie
przy całkowicie rozwiniętym
przy całkowicie rozwiniętym
S
1
1
tarciu:
tarciu:
tarciu:
tarciu:
a�
S
2
S1 =� S2 ��em�a�
gdzie S1 jest siła działającą
gdzie S1 jest siła działającą
w cięgnie w kierunku
w cięgnie w kierunku
ewentualnego ruchu.
ewentualnego ruchu.
13
13
Tarcie cięgien
Tarcie cięgien
o bloczek nieruchomy (2)
o bloczek nieruchomy (2)
S
1
Zależność odwrotna:
Zależność odwrotna:
a�
S
2
S =� S ��e
S2 =� S1 ��e-�m�a�
Kąt a� nazywany jest kątem
Kąt a� nazywany jest kątem
opasania i musi być wyrażany w
opasania i musi być wyrażany w
radianach.
radianach.
14
14
Tarcie cięgien  przykład(1)
Tarcie cięgien  przykład(1)
Obliczyć masę graniczną m2, po
Obliczyć masę graniczną m2, po
przekroczeniu której rozpocznie się ruch.
przekroczeniu której rozpocznie się ruch.
Miara kąta a�=30o.
Miara kąta a�=30o.
m
m
1
m�
2
m�
1
m
2
a�
m�
3
15
15
Tarcie cięgien  przykład(2)
Tarcie cięgien  przykład(2)
X =� 0: S1 -�T1 =� 0
S
I 1
��
Y
��Y =� 0: N1 -� m1 �� g =� 0
T
1
X
mg
1
N
1
T1 =� m�1 �� N1
S
1
II
a�
2
S
2
S2 =� S1 ��em� a�
S
2
X =� 0: m2g sina� -� S2 -�T2 =� 0
III
��
m
2
Y T
2
��Y =� 0: N2 -� m2g cosa� =� 0
N
2
X
T2 =� m�3 �� N2
mg
2
16
16
Przykład  rozwiązanie
Przykład  rozwiązanie
S1 =� T1
I
N1 =� m1 �� g
S1 =� m�1 �� N1 =� m�1 �� m1 �� g
T1 =� m�1 �� N1
p�
p�
m�
m�2
II
6
2
S2 =� m�1 �� m1 �� g ��e
S2 =� S1 ��em� a�
III
m2g sina� -� S2 -�T2 =� 0
p�
m�2
N2 =� m2g cosa�
m�1 ��m1 �� g ��e6
m2 =�
T2 =� m�3 �� N2
g sina� -� m�3 �� g cosa�
17
17
Opór przy toczeniu
Opór przy toczeniu
W rzeczywistych układach, w
W rzeczywistych układach, w
przypadku ciał o przekrojach okrągłych,
przypadku ciał o przekrojach okrągłych,
reakcja pionowa przesunięta jest w
reakcja pionowa przesunięta jest w
reakcja pionowa przesunięta jest w
reakcja pionowa przesunięta jest w
kierunku ewentualnego ruchu.
kierunku ewentualnego ruchu.
Wynika to z nierównomiernego
Wynika to z nierównomiernego
rozkładu sił pod ciałem. Mimo założenia
rozkładu sił pod ciałem. Mimo założenia
kołowości przekroju, w rzeczywistości
kołowości przekroju, w rzeczywistości
styk nie jest punktowy.
styk nie jest punktowy.
18
18
Wartości współczynnika
Wartości współczynnika
oporu toczenia
oporu toczenia
Koło Rodzaj podłoża f [cm]
Koło Rodzaj podłoża f [cm]
Drewno Drewno 0,05-0,8
Drewno Drewno 0,05-0,8
Drewno Stal 0,03-0,04
Drewno Stal 0,03-0,04
Stal Stal 0,001-0,005
Stal Stal 0,001-0,005
Żeliwo Żeliwo 0,005
Żeliwo Żeliwo 0,005
19
19
Opór toczenia - przykład
Opór toczenia - przykład
P
r
a� a�
Psina�
m Pcosa�
f
A
T
T
mg
mg
N
f
��Y =� 0: P sina� +� N -� m�� g =� 0
��M =� 0: P cosa� �� r -� N �� f =� 0
A
N =� m �� g -� P sina�
P cosa� �� r -� m�� g -� Psina� �� f =� 0
(� )�
m�� g �� f
P =�
r ��cosa� +� f sina�
20
20
Przykład A
Przykład A
Określić zakres, w jakim ma mieścić się
Określić zakres, w jakim ma mieścić się
wielkość masy m2, aby nie wystąpił ruch.
wielkość masy m2, aby nie wystąpił ruch.
a�=30o, b�=45o
a�=30o, b�=45o
m�
2
m2
m1
a� f
m�
1 b�
21
21
Przykład A  wariant I
Przykład A  wariant I
(ruch w lewo)
(ruch w lewo)
S
1
X =� 0: m1 �� g ��sina� -� S1 -�T1 =� 0
��
T
1
��Y =� 0: N1 -� m1 �� g ��cosa� =� 0
N
1
T1 =� m�1 �� N1
mg
mg
1
b�
a�
S
2
2
S
1
S2 =� S1 ��e-�m� (�a� +�b� )�
S
2
��Y =� 0: N2 -� m2g cosb� =� 0
T
A
2
��M =� 0: N2 �� f -� S2 �� r +� m2g sina� �� r =� 0
A
N
2
f
mg
2
22
22
Wariant I - rozwiązanie
Wariant I - rozwiązanie
N1 =� m1 �� g ��cosa�
T1 =� m�1 ��m1 �� g ��cosa�
S1 =� m1 �� g ��sina� -� m�1 �� m1 �� g ��cosa�
S1 =� m1 �� g ��sina� -� m�1 �� m1 �� g ��cosa�
2
S2 =� m1 �� g ��sina� -� m�1 �� m1 �� g ��cosa� �� e-�m� (�a� +�b� )�
(� )�
N2 =� m2g cosb�
2
m1 �� g ��sina� -� m�1 ��m1 �� g ��cosa� ��e-�m� (�a� +�b� )� �� r
(� )�
m2min =�
g cosb� �� f +� g sina� �� r
23
23
Przykład A  wariant II
Przykład A  wariant II
(ruch w prawo)
(ruch w prawo)
S
1
X =� 0: m1 �� g ��sina� -� S1 +� T1 =� 0
��
��Y =� 0: N1 -� m1 �� g ��cosa� =� 0
N
1
T1 =� m�1 �� N1
T
1
mg
1
b�
a�
S
2
2
S S2 =� S1 ��em� (�a� +�b� )�
1
S
2
��Y =� 0: N2 -� m2g cosb� =� 0
T
2
A ��M =� 0: N2 �� f +� S2 �� r -� m2g sina� �� r =� 0
A
f
mg
N 2
2
24
24
Wariant II - rozwiązanie
Wariant II - rozwiązanie
N1 =� m1 �� g ��cosa�
T1 =� m�1 ��m1 �� g ��cosa�
S1 =� m1 �� g ��sina� +� m�1 �� m1 �� g ��cosa�
S1 =� m1 �� g ��sina� +� m�1 �� m1 �� g ��cosa�
2
S2 =� m1 �� g ��sina� +� m�1 �� m1 �� g ��cosa� �� em� (�a� +�b� )�
(� )�
N2 =� m2g cosb�
2
m1 �� g ��sina� +� m�1 ��m1 �� g ��cosa� ��em� (�a� +�b� )� �� r
(� )�
m2max =�
g sina� ��r -� g cosb� �� f
25
25
Przykład B-I (1)
Przykład B-I (1)
Określić maksimum masy m1, przy którym nie
Określić maksimum masy m1, przy którym nie
wystąpi jeszcze ruch.
wystąpi jeszcze ruch.
r
1
r
r
2
2
m1
r
b�
m�1
a�
f
m2
m�2
g�
26
26
Przykład B-I (2)
Przykład B-I (2)
m1 S1
T1
r
��Y =� 0: N1 -� m1g cosa� =� 0
A
A
��M =� 0: N1 �� f +� S1 �� r -� m1g sina� �� r =� 0
A
m1g
f
N1
1
S1 r r
2
��M =� 0: S1 �� r1 -� S2 �� r2 =� 0
O
S2
27
27
Przykład B-I (3)
Przykład B-I (3)
S
2
p�
-�m�1ć� -� a� +�b�
(� )���
����
Ł�ł�
S3 =� S2 ��e2
b�
g�
g�
S
3
S3
m2 X =� 0: m2 �� g ��sing� -� S3 +�T3 =� 0
��
��Y =� 0: N3 -� m2 �� g ��cosg� =� 0
T3
T3 =� m�2 �� N3
N3
m2g
28
28
Przykład B-I - rozwiązanie
Przykład B-I - rozwiązanie
mg sina� ��r -� mg cosa� �� f
11
N1 =� m1g cosa�
S1 =�
r
S1 ��r1 m1g sina� ��r -� m1g cosa� �� f r1
S2 =�=� ��
r22
r r2
2
p�
-�m�1ć� -� a� +�b� -�
(� )��� 11
���� ����
mg sina� ��r -� mg cosa� �� f r1 -�m�1ć�p� (�a� +�b� )���
Ł�ł� Ł�ł�
S3 =� S2 ��e22
=� �� ��e
rr2
N3 =� m2 �� g ��cosg�
T3 =� m�2 �� m2 �� g ��cosg�
-� a� +�b�
(� )���
m2 �� g ��sing� +� m�2 ��m2 �� g ��cosg� �� r �� r2 m�1ć�p�
����
(� )�
2
Ł�ł�
m1 =���e
g sina� ��r -� g cosa� �� f �� r1
(� )�
29
29
Przykład B-II (1)
Przykład B-II (1)
Określić minimum masy m1, przy którym nie
Określić minimum masy m1, przy którym nie
wystąpi jeszcze ruch.
wystąpi jeszcze ruch.
r
1
r
r
2
2
m1
r
b�
m�1
a�
f
m2
m�2
g�
30
30
Przykład B-II (2)
Przykład B-II (2)
m1 S1
r
��Y =� 0: N1 -� m1g cosa� =� 0
A
N
T
T1 A f N1
��M =� 0: N1 �� f -� S1 �� r +� m1g sina� �� r =� 0
A
m1g
r1
S
1 r2
��M =� 0: S1 �� r1 -� S2 �� r2 =� 0
O
S
2
31
31
Przykład B-II (3)
Przykład B-II (3)
S
2
p�
m�1ć� -� a� +�b�
(� )���
����
2
Ł�ł�
S3 =� S2 ��e
b�
g�
g�
S
3
S
3
m
2
X =� 0: m2 �� g ��sing� -� S3 -�T3 =� 0
��
T
3
��Y =� 0: N3 -� m2 �� g ��cosg� =� 0
T3 =� m�2 �� N3
N
m g
3
2
32
32
Przykład B-II - rozwiązanie
Przykład B-II - rozwiązanie
mg cosa� �� f +� mg sina� �� r
11
N1 =� m1g cosa�
S1 =�
r
S1 ��r1 m1g cosa� �� f +� m1g sina� �� r r1
S2 =�=� ��
r22
r r2
2
p�
m�1ć� -� a� +�b� -�
(� )��� 11 ����
����
mg cosa� �� f +� mg sina� ��r r1 m�1ć�p� (�a� +�b� )���
22
Ł�ł� Ł�ł�
S3 =� S2 ��e =� �� ��e
rr2
N3 =� m2 �� g ��cosg�
T3 =� m�2 ��m2 �� g ��cosg�
-� a� +�b�
(� )���
m2 �� g ��sing� -� m�2 ��m2 �� g ��cosg� �� r �� r2 -�m�1ć�p�
����
(� )�
2
Ł�ł�
m1 =���e
g cosa� �� f +� g sina� �� r �� r1
(� )�
33
33
Przykład C-I (1)
Przykład C-I (1)
Określić graniczną wartość siły, przy
Określić graniczną wartość siły, przy
przekroczeniu której może wystąpić
przekroczeniu której może wystąpić
ruch.
ruch.
m1
m�3
m�1
m2
P
m�2
34
34
Przykład C-I (2)
Przykład C-I (2)
S
1
X =� 0: S1 -�T1 =� 0
��
T
1
��Y =� 0: N1 -� m1 �� g =� 0
mg
1
N
1
T1 =� m�1 �� N1
1 1 1
S
S
1
3
S2 =� S1 ��em� p�
S
2
N
1
T X =� 0: P -�T1 -�T2 -� S2 =� 0
1
��
S
P 2
��Y =� 0: N2 -� m2 �� g -� N1 =� 0
T
2
T2 =� m�2 �� N2
mg
2
N
2
35
35
Przykład C-I - rozwiązanie
Przykład C-I - rozwiązanie
N1 =� m1 �� g
T1 =� m�1 �� m1 �� g
S1 =� m�1 �� m1 �� g
S1 =� m�1 �� m1 �� g
3
S2 =� m�1 ��m1 �� g ��em� p�
N2 =� m2 �� g +� m1 �� g
T2 =� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g
(� )�
3
P =� m�1 �� m1 �� g1 +� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g +� m�1 �� m1 �� g ��em� p�
(� )�
2
36
36
Przykład C-II (1)
Przykład C-II (1)
Określić graniczną wartość siły, przy
Określić graniczną wartość siły, przy
przekroczeniu której może wystąpić
przekroczeniu której może wystąpić
ruch.
ruch.
m1
P
m�3
m�1
m2
m�2
37
37
Przykład C-II (2)
Przykład C-II (2)
S
P 1 X =� 0: P -� S1 -�T1 =� 0
��
T
1
��Y =� 0: N1 -� m1 �� g =� 0
mg
1
N
1
T1 =� m�1 �� N1
1 1 1
S
S
1
3
S2 =� S1 ��e-�m� p�
S
2
N
1
X =� 0: S2 -�T1 -�T2 =� 0
T
1 ��
S
2
��Y =� 0: N2 -� m2 �� g -� N1 =� 0
T
2
T2 =� m�2 �� N2
mg
2
N
2 38
38
Przykład C-II - rozwiązanie
Przykład C-II - rozwiązanie
N1 =� m1 �� g
T1 =� m�1 ��m1 �� g
N2 =� m2 �� g +� m1 �� g
2 2 1
T2 =� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g
(� )�
S2 =� m�1 �� m1 �� g +� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g
(� )�
3
S1 =� m�1 �� m1 �� g +� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g ��em� p�
(� (� )�
)�
3
P =� m�1 ��m1 �� g +� m�2 �� m2 �� g +� m1 �� g ��em� p� +� m�1 ��m1 �� g
(� )�
(� )�
39
39