dr hab. Henryk Gacki
ZESTAW 1
Rachunek macierzowy-Zastosowania
Matematyka Stosowana, Geologia I rok semestr zimowy 2012/2013
ZADANIE 1. * Każde ze 150 państw eksportuje oraz importuje towary do oraz z pozostałych
państw. Zaproponować zapis w formie jednej macierzy, wielkości eksportu i importu w
mln $ między tymi państwami. W jaki sposób, można odczytać z tej macierzy deficyt w handlu
zagranicznym każdego z tych państw?
ZADANIE 2. " Korzystając z własności wyznacznika (Wykład 2) obliczyć wyznaczniki
poniższych macierzy wykorzystując występujące w nich regularności
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ -5 2 3 4 5 1 1 1 1 1
1 2 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -4 3 4 5 śł ïÅ‚ 1 2 2 2 2 śł
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 6 7 8
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł , 1 2 -3 4 5 , 1 2 3 3 3 .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
9 10 11 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 2 3 -4 5 1 2 3 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
13 14 15 16
1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5
" Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy na dwa sposoby: stosując rozwinięcie Laplace a
oraz doprowadzając do macierzy trójkątnej dolnej (lub górnej)
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ 1 4 3 2 0
1 -1 2 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -3 5 0 -1 śł
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 0 -3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł , -1 1 2 0 3 .
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 2 -2 4
ïÅ‚ śł
0 3 4 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
2 3 1 1
-5 0 -1 0 2
ZADANIE 3. Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy A, jeżeli
a) A2 = AT b) AT - A-1 = 0 b) A2 + A-1 = 0.
ZADANIE 4. Wyliczyć kilka początkowych, potęg macierzy A, następnie wysunąć hipotezę o
postaci macierzy An, n " N
îÅ‚ Å‚Å‚

1 0 1
1 1
ïÅ‚ śł
a) , b) 0 1 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 -1
1 0 1
ZADANIE 5. .
" Znalez
ć macierz, jeżeli macierz odwrotna do niej ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚
6 1 0
1
ïÅ‚ śł
A = 0 4 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
12
0 0 3
1
" Wyznacz macierz odwrotnÄ… na dwa sposoby : metodÄ… wyznacznikowÄ… oraz bezwyznaczni-
kowÄ… (algorytm)
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 4
1 2 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 3 0 , ïÅ‚ śł .
ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 2 0 0
1 -1 1
-1 0 1 0
"
ZADANIE 6. " Wskazać które z podanych macierzy są symetryczne, a które antysyme-
tryczne:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 1 4 0 0 2 0 -3 -4
1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) ; b) 1 2 0 ; c) 0 0 -1 ; d) 3 2 5 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 1
4 0 1 -2 1 0 4 -5 0
" Przedstaw poniższą macierz w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej
îÅ‚ Å‚Å‚
4 5 1 2
ïÅ‚ śł
1 5 3 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ ûÅ‚
2 1 1 4
3 6 3 7
ZADANIE 7. Korzystając z własnosci rachunku macierzowego:
" Wyprowadz
wzór na macierz odwrotną do macierzy ABC, jeżeli macierze A, B, C są
macierzami kwadratowymi nieosobliwymi tego samego stopnia.
" Pokaż,że macierz odwrotna (o ile istnieje) do macierzy trójkątnej górnej (dolnej)
jest macierzą trójkątną górną (dolną).
" Pokaż, że macierz odwrotna (o ile istnieje) do macierzy symetrycznej (antysymetry-
cznej) jest macierzÄ… symetrycznÄ… (antysymetrycznÄ…).
" Korzystając z własności rachunku macierzoweg (Wykład 3) rozwiąż równania macierzowe:
1.
ëÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚-1 îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 3 1 -4 -3
ìÅ‚ ïÅ‚ śł÷Å‚ ïÅ‚ śł
3X + 4 2 -3 = 1 -5 -3 .
íÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
5 -4 -2 -1 6 4
2.
-1
0 3 1 2
+ 4X = .
5 -2 3 4
3.

3 1 1 3 3 3
· X · =
2 1 1 2 2 2
4.

3 1 1 3 3 3
· X-1 = .
2 1 1 2 2 2
2
ZADANIE 8. . Rozwiązując odpowiednie układy równań Cramera znalez
ć rozkłady na rze-
czywiste ułamki proste podanych funkcji wymiernych:
2x2 + 3 3x3 + x2 + x - 1 x3 + x + 1 x
a) b) c) d)
(x + 1)2 (x + 2)2 x4 - 1 x4 + x2 x3 + 1
ZADANIE 9. .
Ile rozwiązań w zależności od parametru m posiada układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ (m + 1)x1 +x2 +x3 = 1
òÅ‚
x1 +(m + 1)x2 +x3 = m + 1
ôÅ‚
ół
mx1 +m(m + 2)x2 = 0,
ZADANIE 10. . Rozwiąż następujące układy:
" Układ sprzeczny:
Å„Å‚
x3 -x4 = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x2 -x3 = 1
ôÅ‚ -x2 = 1
x1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-x2 +2x3 -x4 = 4
" Układ posiadający nieskończenie wiele rozwiązań:
Å„Å‚
x1 +x2 +2x3 -x4 = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x1 -x2 +x3 +x4 = 3
ôÅ‚ -2x2 -x3 +2x4 = 0
x1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x2 +2x3 -3x4 = 1
" Układ Cramera
Å„Å‚
5x1 +6x2 -4x3 +x4 = 6
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x1 +2x2 -x3 +x4 = 4
ôÅ‚
7x1 +8x2 -5x3 +4x4 = 11
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x1 +3x2 -3x3 = 2
ZADANIE 11. Rozwiązać układ równań macierzowych

Å„Å‚
ôÅ‚ 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
X + Y =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 1
òÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 0
ôÅ‚
ôÅ‚
2X + 3Y = ,
ół
0 1
ZADANIE 12. Dla macierzy A " M3×3 oraz B " M2×2 postaci
îÅ‚ Å‚Å‚

6 -2 2
3 4
ïÅ‚ śł
a) A = -2 5 0 , b) B =
ðÅ‚ ûÅ‚
2 5
2 0 7
wyznacz:
3
" równania charakterystyczne i sprawdz
, że macierze te są pierwiastkiem swoich równań
charakterystycznych.
" Pierwiastki charakterystyczne.
" Wektory własne.
Zastosowania rachunku macierzowego w statystyce i w praktyce
ZADANIE 13. Przeprowadzono 5 obserwacji chcąc badać zależność erozji gleby Y(w mm)
w zależności od kąta nachylenia X1 (w stopniach) oraz zawartości piaskowca X2 (w pro-
centach) i otrzymano następujące wyniki:
îÅ‚ Å‚Å‚
x1 x2 y
ïÅ‚ śł
2 1 0.7
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
3 2 2.2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
5 2.5 1.3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 6 3 1.5 ûÅ‚
7 4 1.6
Korzystając ze wzoru na rozwiązanie układu równań normalnych (p. Wykład)
-1
Ć
² = XT X XT Y) wyznacz zaobserwowanÄ… postać regresji wielorakiej oraz zaob-
serwowaną wartość wariancji resztowej.
ZADANIE 14. Na podstawie obserwacji zauważono, że relacja wiążąca wielkość miejsco-
wości X z odsetkiem ludności zawodowo czynnej poza rolnictwem Y mieszkającej
w danej miejscowości jest relacją liniową. Przeprowadzono badania dla kilku miejscowości i
otrzymane dane zestawiono w tablicy:
X 0.5 2 2 3 4
Y 1.9 2.4 2.6 3.9 4.4
" Korzystając ze wzoru na rozwiązanie układu równań normalnych wyznacz zaobserwo-
waną zależność liniową.
y = a x + b
zachodzącą pomiędzy Y a X.
" Wyznacz zaobserwowaną wartość wariancji resztowej.
ZADANIE 15. (*) Dzięki pracom C. Clarka wiadomo, że relacja : gęstość zaludnienia Y oraz
odległość od centrum X dobrze opisuje zależność wykładnicza postaci
y = k e-Ä…x , (1)
gdzie k oznacza maksymalną gęstość w centrum miasta, ą z kolei gradient gęstości.
Celem oszacowania powyższych parametrów (w całej populacji) dokonano 9-ciu obserwacji
zależności (X, Y ). Dane zebrano w tabeli:
X 2 2.5 3.5 4 5 6 7.5 8 10
Y 2.5 3.5 5.3 5.4 5.6 6.2 6.6 7.1 7.5
Na podstawie tej próby , sprowadzając rozważania do przypadku liniowego ,podobnie jak w
poprzednich zadaniach wyznacz MNK zaobserwowane wartości tych parametrów.
4
"
ZADANIE 16.
(a) Rysunek (p. załącznik) przedstawia schemat połączeń pięciu stacji kolejki linowej. Ele-
menty aij macierzy połączeń A są określone wzorem:
Å„Å‚
ôÅ‚
1 gdy stacje i oraz j majÄ…
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
bezpośrednie połączenie,
aij =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 w przeciwnym przypadku.
Napisać macierz A;
a) Uzasadnić, że element cij macierzy An jest równy liczbie różnych tras łączących
stację i ze stacją j złożonych z n odcinków.
b) Wyznaczyć najmniejszą liczbę n, dla której możliwe jest dotarcie z dowolnej stacji
początkowej do dowolnej stacji końcowej w n odcinkach.
(b) Nadajnik emituje sygnał w postaci ciągu, którego elementami są litery S1, S2, S3, S4. Po
literze Si może nastąpić tylko litera Sj, że aij = 1, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
1 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 0 1
1 0 0 0
1. Podać wszystkie dopuszczalne słowa 2-literowe.
2. uzasadnić, że jeżeli w macierzy [aij]n = [cij] element cij = 0, to słowo n-literowe
zaczynające się od Si i kończące na Sj nie jest dopuszczalne. Jeżeli zaś cij = 0, to

takie słowo jest możliwe, przy czym dla cij = k jest dokładnie k takich słów.
3. Wskazać najmniejszą liczbę n, dla której dopuszczalne jest słowo n-literowe o dowol-
nej literze początkowej i końcowej.
4. Ile jest różnych słów 2, 3, 4 - literowych ?
5