METODY OBLICZENIOWE INFORMATYKI  LABORATORIUM
materiały pomocnicze
Ćwiczenie 5
Interpolacja.
ZAGADNIENIE INTERPOLACJI
Zagadnienie interpolacji może być sformułowane następująco: w pewnym przedziale a,b danych
jest n+1 różnych punktów x0 , x1,..., xn - nazywanych węzłami interpolacji, oraz wartości
y0 , y1,..., yn pewnej funkcji y = f (x) w tych punktach. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie
przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami interpolacji. W tym celu należy
znalez
ć funkcję interpolującą y = F(x) , która w węzłach interpolacji przyjmuje takie same
wartości co funkcja y = f (x) (tzn. funkcję, której wykres przechodzi dokładnie przez zadane
punkty).
WIELOMIAN INTERPOLACYJNY LAGRANGE'A
Poszukujemy wielomianu stopnia n, który w n+1 danych punktach x0 , x1,..., xn przyjmuje zadane
wartości y0 , y1,..., yn . Wielomian Lagrange'a spełniający powyższy warunek ma postać:
n
(x - x0 )(x - x1)...(x - x )(x - x )...(x - xn )
j-1 j+1
Wn (x) = y
" j
(x - x0 )(x - x1)...(x - x )(x - x )...(x - xn )
j=0
j j j j-1 j j+1 j
PROCEDURY ÅšRODOWISKA MATLAB REALIZUJ
CE INTERPOLACJ

Standardowe procedury MATLAB-a realizują interpolację za pomocą następujących metod:
- interpolacja wielomianami pierwszego i trzeciego stopnia,
- interpolacja za pomocÄ… funkcji sklejanych.
Funkcja Parametry Działanie
interp1(x,y,xi,'metoda')
x, y  wektory określające Interpolacja funkcji jednej
węzły interpolacji zmiennej
xi  wektor punktów, dla
których obliczane są
wartości wielomianu
interpolujÄ…cego
metoda  rodzaj interpolacji:
- linear (interpolacja
funkcjÄ… Å‚amanÄ…)
- spline (interpolacja
funkcjami
sklejanymi trzeciego
stopnia)
- cubic (interpolacja
wielomianami
trzeciego stopnia)
ZADANIA
Zad.1.
Napisać program w wybranym języku programowania obliczający wartość wielomianu Lagrange'a
stopnia n w dowolnym punkcie leżącym wewnątrz przedziału x0 , xn i różnym od węzła, przy
zadanych węzłach interpolacji x0 , x1,..., xn oraz wartościach y0 , y1,..., yn funkcji w tych węzłach.
Wykorzystując napisany program obliczyć wartość wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a
stopnia 3 dla x = 0 . Wielomian interpolacyjny w punktach  2, 1, 2, 4 przyjmuje wartości 3, 1, -3, 8.
Zad. 2.
Porównać jakość dostępnych metod interpolacji w funkcji interp1 środowiska MATLAB, na
przykładzie funkcji: y = f (x) = 2e-0.25x sin x . W przedziale 0,12 rozmieszczonych jest
równomiernie siedem węzłów interpolacji.
Zad. 3.
Dana jest funkcja schodkowa określona w wybranych punktach:
0 dla 0 d" n < 5
Å„Å‚
s(n) =
òÅ‚5 dla 5 d" n < 10 n " N
ół
Znalez
ć wielomian interpolacyjny stopnia 10-go za pomocą funkcji polyfit środowiska
MATLAB. Porównać przebieg otrzymanego wielomianu z przebiegami wielomianów
aproksymujących otrzymanymi w zad. 3 ćwiczenia nr 2.