IMG'99

I

./ kom:    • A7* <1 SA-/ - ćwiczenia

I

Oviczen ia X: Ziniciiiic lostwc - a pli kac

c c

.cl.

I Telefonistki A, B. C i D pracują w 2 parach: (A, B) i C. D) podległych wspólnemu dystrybutorowi Interwały Xi, Xj,... między kolejnymi zgłoszeniami abonenckimi do dystrybutora są jwn.l. lid o rozkładzie gamma rzędu l-‘2 z pa ram cl rem o - por. Ćwicz. VII, znd Jb), także Ćwicz. IX. zad 3b). Dystrybutor wybiera jed/ją z 2 par dla zgłoszenia, zaś wybrana para iclcfomsick sama decyduje, która z nich obsłuż)' zgłoszenie. Czy rozkład i momenty lozkladu interwalów między kolejnymi zgłoszeniami obsługiwanymi przez telefonistkę A są | takie same w poniższych 2 przypadkach:

a) dystrybutor wybiera pary na przemian, a telefonistki iirają w orla i reszkę,

Interwal między zgłoszeniami kierowanymi do pan (A. B) składa się z 2 kolejnych interwalów nn wejściu dystrybutora - z lego. co wiemy o rozkładzie gamma, wynika prosiy rozkład... Sytuację z. pimkln widzenia tclcfonislki A już. kiedyś mieliśmy - Ćwicz. Ml. zad fib).

h)/dystrybulor gra w orła i reszkę, a telefonistki obsługują zgłoszenia na przemian.

Teraz, dla interwalu z. punktu uidzenia pary (A. B) obliczenia jak w Ćwicz. VII. zad. 6b): zaś telefonistka A "widzi" sumę 2 takich interwalów... funkcja cłiarakicrysiyczna nic wygląda przyjemnie, ale pozwala Iłcr. trudu odpowiedzieć na nasze pytanie i obliczyć momenty rozkładu. Wartość średnia jest oczywiście laka sama jak w punkcie a) (dlaczego?), ale wariancja nic. Sprawdź, gdzie jest większa.

2.    Populacja rozrasta się w len sposób, że na początku jest I osobnik, który z prawdopodobieństwem r, generuje i osobników potomnych, a sam przy tym ginie (/=0.1...../.

rn+t |+...+»/= 1) Każdy z osobników potomnych zachowuje się następnie tak samo i niezależnie od innych osobników. Określ prawdopodobieństwo, że populacja ostatecznie wyginie. Przcdslaw obliczenie dla /n-l/fi. /'r 2/3. » ;= 1/6

Niech n. • prawdopodobieństwu, ze populacja wyginie po n pokoleniach ffln"il). Zauważ, że wszyscy potomkowie pierwszego osobnika zapoczątkowują niezależne populacje o lakicj samej dynamice jak oryginalna. Rozpatrz, układ zupełny zdarzeń (pierwszy osolmik ma i pomników) i napisz równanie rckmcucyjnc typu n«-/tn*i). Przejdź do granicy... (po co?), a otrzymasz zwykle równanie. Po wykonaniu obliczeń dla zadanych r, możesz być zaskoczony - przecież każdy osobnik ma średnio I polonika¹ •••Przy tym ostatnim w-.ininku wniosek będzie zawsze laki sam. niezależnie od / i układu r, -spróbuj lo wykazać (jaki sens ma pochodna prawej strony otrzymanego równania w punkcie I?).

3.    Język programowania, klórym się posługujesz, oferuje programowy generator liczb losowych o rozkładzie równomiernym w przedziale <0 .1 >. Jak przy jego pomocy (zapisz odpowiednie algorytmy) generować liczby losowe o rozkładzie

a)    równomiernym w przedziale <a..h>.

Wystarczy przekształcenie liniowe...

b)    wykładniczym z parametrem o?

Zastosuj nirinrlę oriwrncnma rlysiiybunnly: Jaki jest rozkład Y. jeżeli Y°!'x(X). gdzie X ma dowolny rozkład? Odwróćmy |p: jaki jest rozkład Z, jeżeli | = M (y.) ?

EHDH ■    •    “ ‘ i'

./. Knnnrski:    A- .S'A'/ - ćwiczenia _j_____

M^klcloda z zad 3 jcsł niekiedy (kiedy⁰) uciążliwa w zastosowaniu, niektóre allcmaiw.ne metody opisane sr\ niżej. Jakie rozkłady uzyskujemy⁰ Zapisz odpowiednie algoisimy fi) N=max{//: X|+..,+X„<l). gdzie X, są liczbami losowymi o rozkładzie wykladmmin / parametrem o - wygenerowanymi jak w zad. 3b).

fN"/i)**( Xi+...+X„<l) - ( Xi+... +X„,i<l) Suma X_t+ «X„ mn rozkład Grliingu r/ęilu *i • 0«ic/ VI zad. 4a). Jego dystrytiiiniiln... skorzystaj z całki

[f*cxp(-l)dl = n!|l -(I ł J4...+ — )cxp(-OI

b) losujemy liczby s \y z naszego programowego generatora w <0.. I >. podstawiamy r - -Im i jeżeli r<exp[-(»1)^I/2). to bierzemy liczbę x\ dolosowując z równym prawdopodobieństwem znak +/-. w przeciwnym razie losujemy następną parę liczbj¹ (tzw metoda elinmtcujt)

Weźmy dowolną wartość x,2!tt. w długim ciągu wygenerowanych liczb r. jaki odsetek spełni uanmet XiiS-lui'S.rn+//x. inaczej cxp|-(xn⁺ł/x)|Sj’Scxp(-ii,)7 (skor/.yslnj /. lóZmC/ki i ęcnmciryc/nci def prawdopodobieństwa • Ćwicz I. zad. 4 i 5). A do czego z. kolei jest proporcjonalny odsetek / icgn odsetka, który spełni nierówność rScxp|-(xirl)^ł/2|?

(3) Rozpatrzmy populację, w której każdy osobnik ma niezależnie od pozostałych dwie ccchj binarne, X: wzrost (0 - niski, I - wysoki,) i Y: tusza (0 - chudy. I - gruby). Jeżeli hodowla populacji ma normalny przebieg, cechy te są nieskorelowane Istnieje jednak 50% szans, ze w trakcie hodowli zadziała "czynnik ypsilon", który powoduje, że p.w=7$^#/d - por Ćwicz VIII. zad. 5b) W każdym przypadku osobników niskich jest 2 razy więcej niz wysokich, zaś chudych 2 razy więcej niż grubych Wylosowaliśmy z populacji grupę 100 osobników o następującym składzie:

	chudy	gruby
niski	m	M
wysoki	12	25

Oceń a posteriori szanse, że w trakcie hodowli zadziałał “czynnik ypsilon*

Mamy 2 hipotezy o prnwdopodoliicfislu-.icli ń priori... Znajd/ łączny r p (\.V) pr/\ /.ilo/cmn prawdziwości każdej z nich - będą lo 4 liczby, np. n. h. c. il. potrzebne są wiłem J rńwiumin Jedlin km oc żywi sic... dwa mają związek z. prawdopodobieństwami brzegowymi. czwarte / p\x l? wmunti i kvvli A-znobscrwowaiiy skład grupy, to l'(A|zadzialnl “cennik >psilon‘) i l^,(A|norrn.ilnv przebieg liodowlii obliczysz, korzystając z. ro/Jilndn wielomianowego, por. Ćwicz II. zad 40 - wyjaśnij dlac/cpo Qia/c się. źc jedna z. hipotez jest :i posteriori ponad Id razy bardziej prawdopodobna • wano więc pnhc*c i zobaczyć, która.