ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje si ruchami
mikrocz steczek i ich oddzia ywaniami (o ile nie prowadz do zmiany liczby
i rodzaju mikrocz stek)
Zajmiemy si mechanik kwantow nierelatywistyczn .
Hipoteza de Broglie a (1924 r.)
Je eli wiat o ma dwoist falowo-cz stkow natur ,
- fale o cz sto ci i d ugo ci
- cz stki o energii i p dzie
to tak e cz stki o niezerowej masie powinny mie tak natur .
Cz stki takie, o energii i p dzie , zachowuj si jak
fale o cz sto ci i d ugo ci .
(E i p rozumiane s tu w sensie relatywistycznym: , )
Do wiadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de
Broglie'a (1927 r.)
Mec hanika kw antowa 1
Sk - p aszczyzny sieciowe
CD - ró nica dróg ci gów
falowych P1B i P2B
Wzmocnienie, gdy (warunek Braggów)
, ,
, ,
Wniosek:
Ka dej poruszaj cej si cz stce materialnej mo na przypisa fal materii,
której d ugo jest okre lona wzorem de Broglie'a .
Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-cz stkowy.
Mec hanika kw antowa 2
Funkcja falowa
W mechanice kwantowej cz stkom przypisuje si funkcje falowe
w ogólno ci b d ce superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie a
Sens fizyczny funkcji falowej
Interpretacja Borna (1926 r.)
Sama funkcja falowa nie ma bezpo redniej interpretacji fizycznej.
Interpretacj fizyczn ma natomiast kwadrat modu u funkcji falowej
tak , e
gdzie - prawdopodobie stwo tego, e cz stka znajdzie si wewn trz
obszaru o obj to ci .
Funkcja cz sto jest rozumiana jako funkcja znormalizowana
(unormowana), czyli spe niaj ca warunek
(wtedy )
G sto prawdopodobie stwa znalezienia cz stki w danym elemencie
przestrzeni:
Mec hanika kw antowa 3
Opis ruchu cz stki swobodnej za pomoc monochromatycznej fali de
Broglie a
w jednym wymiarze, dla cz stki
poruszaj cej si wzd u os x
w przestrzeni trójwymiarowej, dla cz stki
poruszaj cej si w kierunku
Cz stki opisane tak fal maj ci le okre lon energi i p d, ale ich
zale no po o enia od czasu nie jest okre lona.
Pr dko fazowa a pr dko grupowa fal de Broglie'a
Wynik ten nie jest sprzeczny z teori wzgl dno ci, gdy aby mówi o
pr dko ci cz stki, nale y jej przyporz dkowa nie fal monochromatyczn ,
a grup fal. Pr dko fazowa fal de Broglie a zale y od ich d ugo ci fali
a wi c fale te podlegaj dyspersji, czyli w konsekwencji pr dko grupowa
jest ró na od pr dko ci fazowej. Pr dko grupowa fal de Broglie'a jest
równa pr dko ci przemieszczania si cz stki.
Mec hanika kw antowa 4
Opis ruchu cz stki swobodnej za pomoc paczki falowej
Dla uproszczenia we my cz stk poruszaj c si równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej cz stce mo na przypisa grup fal p askich o
warto ciach modu u wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (o
szeroko ci ) wokó pewnej warto ci
Zwró my uwag , e rozmycie oznacza rozmycie p du (bo ) oraz,
e w takim przypadku warto ci cz sto ci s równie rozmyte wewn trz
pewnego przedzia u, co wynika relacji energii i p du
Zasada nieokre lono ci Heisenberga
Aby dok adniej przeanalizowa konsekwencje rozmycia energii i p du w
paczce falowej, wykonajmy ca kowanie we wzorze opisuj cym paczk
Mec hanika kw antowa 5
, ,
Sens fizyczny ma kwadrat modu u funkcji falowej
St d mamy , gdzie
Dla cz stki opisanej paczk falow mamy pewien zakres warto ci (nie
pojedyncz warto ). Mo na w pierwszym przybli eniu przyj , e
nieokre lono wynosi co najmniej
czyli, e
Mec hanika kw antowa 6
Pokazali my, e dla cz stki swobodnej opisanej paczk falow
1. Je li ustalimy czas ( ), to
W analogiczny sposób mo na otrzyma
Niemo liwe jest jednoczesne okre lenie p du i po o enia cz stki
2. Je li ustalimy po o enie ( ), to
Energia cz stki w danym stanie mo e by okre lona z tym
wi ksz dok adno ci , im d u ej cz stka znajduje si w tym
stanie
Mec hanika kw antowa 7
Równanie Schrödingera (1926)
, , ,
Funkcja spe nia warunek , gdzie
. (gradient U ze znakiem minus jest
równy wypadkowej sile dzia aj cej na cz stk ). Je li U nie zale y od
czasu, to jest energi potencjaln cz stki.
Funkcja falowa musi spe nia tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi by :
ci g a,
g adka - pochodne , , powinny by ci g e,
jednoznaczna,
ograniczona,
funkcja powinna by ca kowalna, tzn. ca ka
powinna mie warto sko czon .
Mec hanika kw antowa 8
Stan stacjonarny cz stki stan, w którym , g sto
prawdopodobie stwa znalezienia cz stki w
danym obszarze przestrzeni nie zale y od czasu.
Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola si
. Dla stanu stacjonarnego funkcja falowa mo e by
zapisana jako iloczyn funkcji zale nej tylko od wspó rz dnych i funkcji
zale nej tylko od czasu
gdzie E jest energi ca kowit cz stki
Posta równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego
stacjonarne równanie Schrödingera,
równanie Schrödingera bez czasu.
Cz sto wygodna jest posta równania Schrödingera po uporz dkowaniu
Mec hanika kw antowa 9
Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym
operator energii ca kowitej, operator
Hamiltona, hamiltonian
Posta równania Schrödingera z u yciem operatora
bez czasu z czasem
Zagadnienie w asne
funkcja w asna operatora
warto w asna
Rozwi zanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu
cz stki wzd u osi x
W tym przypadku . Przyjmijmy
Mechanika kwantowa 10
 - sta e
Dla cz stki poruszaj cej si w dodatnim kierunku osi x
(przyjmujemy )
Dla cz stki poruszaj cej si w ujemnym kierunku osi x
(przyjmujemy )
Mechanika kwantowa 11