PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje siÄ™ ruchami
mikrocząsteczek i ich oddziaływaniami (o ile nie prowadzą do zmiany liczby i
rodzaju mikroczÄ…stek)
Zajmiemy siÄ™ mechanikÄ… kwantowÄ… nierelatywistycznÄ….
Hipoteza de Broglie a (1924 r.)
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząstkową naturę,
- fale o czÄ™stoÅ›ci ½ i dÅ‚ugoÅ›ci 
E h½ h
- czÄ…stki o energii E = h½ i pÄ™dzie p = = =
c c 
to także cząstki o niezerowej masie powinny mieć taką naturę.
Cząstki takie, o energii E i pędzie p , zachowują się jak fale o częstości
E h
½ = i dÅ‚ugoÅ›ci  = .
h p
( E i p sÄ… tu rozumiane w sensie relatywistycznym: E = mc2 1-Å2 c2 , p = mÅ 1-Å2 c2 )
Doświadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de
Broglie'a (1927 r.)
mÅ2 p2
Ek == = Ue
2 2m
p = 2mUe
hh
 = =
p
2mUe
Mechanika kwantowa 1
 Sk - płaszczyzny sieciowe
CD - różnica dróg ciągów
falowych P1B i P2B.
Wzmocnienie, gdy CD a" 2 d cosŃ = n  (warunek Braggów)
W doświadczeniu Davissona i Germera
było:
d = 0,91 Å , Ń = 25°, n =1
2d
stÄ…d  = cosŃ =1,65 Å
n
Z drugiej strony:
Zależność prądu detektora D od
h = 6,63×10-34 Js, U = 54 V
napięcia przyspieszającego elek-
trony w doświadczeniu Davissona i
m = 9,1×10-31 kg
Germera
h
stÄ…d  == 1,64 Å
2mUe
Wniosek:
Każdej poruszającej się cząstce materialnej można przypisać falę materii,
h
której długość jest określona wzorem de Broglie'a  =
p
Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-czÄ…stkowy.
Mechanika kwantowa 2
Częstość kołowa i wektor falowy fal de Broglie'a
E E h
ëÅ‚öÅ‚
É = 2 Ä„ ½ = 2 Ä„ = Ò! E = É =
ìÅ‚÷Å‚
h 2Ä„
íÅ‚Å‚Å‚
2Ä„ 2Ä„ p p
k = = = Ò! p = k
 h
Funkcja falowa
W mechanice kwantowej czÄ…stkom przypisuje siÄ™ zespolone funkcje falowe
¨(x, y, z, t) = ¨(r, t)
w ogólności będące superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie a
LICZBY ZESPOLONE
Liczby zespolone są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla
badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej
mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych.
Określenie liczb zespolonych
Liczbę zespoloną można traktować jako parę uporządkowaną liczb
rzeczywistych
z = (a,b) = a + bi
gdzie liczba i , zwana jednostkÄ… urojonÄ…, jest zdefiniowana wzorem i2 =-1.
część rzeczywista liczby z , (piszemy a = re z ),
a -
część urojona liczby z , (piszemy a = im z ),
b -
z = z* = a - bi - liczba sprzężona z liczbą z = a + bi .
Mechanika kwantowa 3
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych
Niech z = a + bi , w = c + di
Dodawanie:
z + w = (a + c) + (b + d)i
Odejmowanie:
z - w = (a - c) + (b - d)i
Mnożenie:
zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Dzielenie:
z a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad
== =2 2
+ i
w c + di (c + di)(c - di) c2 + d c2 + d
Postać trygonometryczna liczb zespolonych
Liczbę zespoloną z = a + bi można też
traktować jako punkt na płaszczyz
nie o
współrzędnych (a,b)
Moduł liczby z . Odległość odpowiadającego jej
z = r = a2 + b2 -
punktu od początku układu współrzędnych.
Õ -
Argument liczby z .Kąt zawarty między dodatnią
półosią osi x , a odcinkiem Oz . Kąt ten jest określany
z dokładnością do całkowitej wielokrotności kąta
peÅ‚nego. Piszemy Õ = arg z .
Zachodzi
a b
cosÕ = , sinÕ =
r r
a b
ëÅ‚öÅ‚
z = a + bi = r + i = r(cosÕ + isinÕ)
ìÅ‚÷Å‚
r r
íÅ‚Å‚Å‚
Mechanika kwantowa 4
Postać wykładnicza liczby zespolonej
LiczbÄ™ zespolonÄ… z o module r i argumencie Õ można też zapisać w postaci
z = r eiÕ
Zachodzi: eiÕ = cosÕ + isinÕ wzór Eulera
Potęgowanie liczb zespolonych
Korzysta siÄ™ tu ze wzoru Moivre'a
n
r(cosÕ + isinÕ) = rn (cos nÕ + isin nÕ)
[]
Wzór Moivre'a można stosować przy n całkowitym lub ułamkowym,
dodatnim lub ujemnym. Przy n ułamkowym należy uwzględnić
wieloznaczność wyniku.
Sens fizyczny funkcji falowej
Interpretacja Borna (1926 r.)
Sama funkcja falowa nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej.
Interpretację fizyczną ma natomiast kwadrat modułu funkcji falowej
2
¨ = ¨¨* takÄ…, że
2
dP <" ¨ dV
gdzie dP - prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz
obszaru o objętości dV .
Mechanika kwantowa 5
Sens fizyczny funkcji falowej, cd
Funkcja ¨ jest czÄ™sto rozumiana jako funkcja znormalizowana (unormowana),
czyli spełniająca warunek
2
*
(wtedy dP = ¨ dV )
+"¨¨ dV =1
V
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym elemencie
przestrzeni:
dP
2
Á(r, t) = = ¨ = ¨¨*
dV
Opis ruchu czÄ…stki swobodnej za pomocÄ… monochromatycznej fali de Broglie a
¨(x, t) = A e-i (É t-k x) w jednym wymiarze, dla czÄ…stki poruszajÄ…cej
się wzdłuż osi x.
¨(r, t) = A e-i (É t-k r ) w przestrzeni trójwymiarowej, dla czÄ…stki
poruszajÄ…cej siÄ™ w kierunku k .
Cząstki opisane taką falą mają ściśle określoną energię i pęd, ale ich zależność
położenia od czasu nie jest określona. Dla cząstek poruszających się z
prędkościami Šc zachodzi
ëÅ‚öÅ‚
p2 p2 p2
E = p2c2 + m2c4 = mc2 1+ H" mc2 ìÅ‚1+ = mc2 +
2
mc2 2m2c2 ÷Å‚ 2m
íÅ‚Å‚Å‚
a wiÄ™c wtedy czÄ™stość É może być rozumiana jako obliczana z zależnoÅ›ci
É = Ek , gdzie Ek = p2 (2m).
Mechanika kwantowa 6
Opis ruchu czÄ…stki swobodnej za pomocÄ… paczki falowej
Dla uproszczenia wez
my cząstkę poruszającą się równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej cząstce można przypisać grupę fal płaskich o
wartościach modułu wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (np. o
szerokości 2 "k ) wokół pewnej wartości k0 .
k0+"k
A
¨(x, t) = e-i (É t-k x)dk
+"
2 "k
k0-"k
Zwróćmy uwagę, że rozmycie k oznacza rozmycie pędu (bo p = k ) oraz, że
w takim przypadku wartoÅ›ci czÄ™stoÅ›ci É sÄ… również rozmyte wewnÄ…trz
pewnego przedziału, co wynika relacji energii i pędu
2
E = p2c2 + m2c4 Ò! É = k2c2 + m2c4
(zwiÄ…zek dyspersyjny)
Dla cząstek nierelatywistycznych związek dypersyjny ma postać Ek = p2 (2m)
Zasada nieokreśloności Heisenberga
Aby dokładniej przeanalizować konsekwencje rozmycia energii i pędu w
paczce falowej, wykonajmy całkowanie we wzorze opisującym paczkę
k0+"k
A
¨(x, t) = e-i (É t-k x)dk
+"
2 "k
k0-"k
dÉ
Wprowadz
my oznaczenia: xg = Ågt , Åg = , É0 = É(k0)
dk
RozwiÅ„my É w szereg Taylora
dÉ
É(k) = É(k0) + (k - k0) + ... E" É0 +Åg (k - k0)
dk
(wyrazy rzędu wyższego niż pierwszy można pominąć ze względu na założoną
małą wartość "k ).
Mechanika kwantowa 7
Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.
k0+"k
A
¨(x, t) = e-i (É t-k x)dk É(k) E" É0 +Åg (k - k0)
+"
2 "k
k0-"k
StÄ…d
Ét - kx = É0t +Åg (k - k0)t - kx = É0t +Ågkt -Ågk0t - kx
= É0t - k0xg - (x - xg )k
0
e-i(Ét-kx) = e-i(É t-k0xg )ei( x-xg )k
Paczka falowa może być zapisana w postaci
k0+"k
îÅ‚Å‚Å‚
A
0
¨(x, t) = ei (x-xg )kdk e-i(É t-k0xg )
ïłśł
+"
2 "k
ïłśł
k0-"k
ðÅ‚ûÅ‚
eiÕ - e-iÕ
Po scaÅ‚kowaniu i wykorzystaniu zależnoÅ›ci = sinÕ otrzymujemy
2i
îÅ‚Å‚Å‚
sin - xg )"k
ðÅ‚(x ûÅ‚ t-k0x)
0
¨(x, t) = A e-i(É
(x - xg )"k
Sens fizyczny ma kwadrat moduÅ‚u funkcji falowej ¨¨* <" Á(x,t)
sin2 Ä…
StÄ…d mamy Á(x, t) <" , gdzie Ä… = (x - xg )"k = (x -Ågt)"k
2
Ä…
Mechanika kwantowa 8
Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.
Dla cząstki opisanej paczką falową mamy pewien zakres wartości ą (nie
pojedynczą wartość). Analizując powyższy rysunek można w pierwszym
przybliżeniu przyjąć, że rozmycie (nieokreśloność) ą wynosi nie mniej niż 2Ą
"Ä… e" 2Ä„ czyli, że ("x -Åg"t)"k e" 2Ä„
1. Jeśli ustalimy czas ("t = 0), to mamy "x "k e" 2Ą
2Ä„
px = k "k = "px
h
2Ä„
"x "px e" 2Ä„ "x "px e" h
h
W analogiczny sposób można otrzymać "y "py e" h
"z "pz e" h
Wniosek:
Niemożliwe jest jednoczesne określenie pędu i położenia cząstki.
2. JeÅ›li ustalimy poÅ‚ożenie ("x = 0), to mamy Åg"t"k e" 2Ä„
"É
Åg = "É "t e" 2Ä„
"k
2Ä„
E = É "É = "E
h
2Ä„
"E "t e" 2Ä„ "E "t e" h
h
Wniosek:
Energia cząstki w danym stanie może być określona z tym większą
dokładnością, im dłużej cząstka znajduje się w tym stanie.
Mechanika kwantowa 9
Równanie Schrödingera (1926)
"¨ 2
i =- "¨+U ¨
"t 2m
h "2 "2 "2
i = -1 = , "="2 = + +
2Ä„ "x2 "y2 "z2
Funkcja U (x, y, z, t) spełnia warunek -"U = F , gdzie
"""
"= ex + ey + ez (gradient U ze znakiem minus jest równy
"x "y "z
wypadkowej sile działającej na cząstkę). Jeśli U nie zależy od czasu, to
U = U (x, y, z) jest energiÄ… potencjalnÄ… czÄ…stki.
Ogólne wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci rozwiÄ…zaÅ„ równania Schrödingera
RozwiÄ…zujÄ…c równanie Schrödingera możemy znalez
ć postać funkcji falowej
¨ . Funkcja ta musi speÅ‚niać przy tym tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi być:
! ciągła,
! gÅ‚adka - pochodne "¨ / "x, "¨ / "y, "¨ / "z powinny być ciÄ…gÅ‚e,
! jednoznaczna,
! ograniczona,
2
2
! funkcja ¨ powinna być caÅ‚kowalna, tzn. caÅ‚ka ¨ dV powinna
+"
V
mieć wartość skończoną.
Mechanika kwantowa 10