Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
Treść zajęć:
- podstawy estymacji parametrycznej
- weryfikacja hipotez
- korelacyjny diagram rozrzutu i funkcja regresji
1. Podstawy estymacji parametrycznej
Ćwiczenie M.2.3.
Jedną z miar wydajności pracy w pewnym du\
ym Fast Foodzie na Mazowszu była liczba
obsłu\
onych klientów w jednostce czasu. Przeprowadzono trzydziestominutową obserwację
25 sprzedawców (w godzinie szczytu), ustalając ilu klientów ka\
dy z pracowników obsłu\
ył.
Otrzymano następujące wyniki:
Liczba obsłu\
onych klientów Liczba pracowników
7 1
8 2
9 5
10 7
11 6
12 3
13 1
Zakładając poziom ufności l - ą = 0,90 zbuduj przedział ufności pokrywający średnią liczbę
obsługiwanych w ciągu pół godziny klientów w tej restauracji. Oceń precyzję dokonanego
szacunku.
RozwiÄ…zanie
Skorzystaj ze wzoru na przedział ufności dla średniej przy nieznanym odchyleniu
standardowym populacji i małej próbie, tzn. ze wzoru:
^ ^
Å„Å‚ üÅ‚
- -
S S
PôÅ‚X - tÄ… X < M < X + tÄ… X ôÅ‚ = 1-Ä…
òÅ‚ żł
N N
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
gdzie:
M - określa średnią arytmetyczną populacji,
-
X - oznacza średnią obliczoną na podstawie próby,
-
S - oznacza odchylenie standardowe z próby,
X
tą - określa wartość zmiennej losowej rozkładu t-Studenta dla zadanego współczynnika
ufności 1 - ą i N  1 stopni swobody,
N - oznacza liczebność badanej próby.
- ^
X oraz S oblicz ze wzorów dla tych wartości dla szeregu rozdzielczego punktowego, tj.
X
ze wzorów:
n
- n -
-
1 1
S = - x)2 ni
X
X = ni
"(xi
"xi
N -1
i=1
N
i=1
1
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
gdzie:
xi  oznaczają kolejne wartości cechy X,
ni  to liczebności zbiorowości o cesze xi.
Natomiast błąd względny szacunku oblicz ze wzoru:
^
-
tÄ… S
X
B(x) = 100%
-
x N
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_2_3.xls.
2. Wykonaj obliczenia pomocnicze potrzebne do wyznaczenia średniej i odchylenia
standardowego z próby.
Do komórek od C4 do F4 wpisz kolejno =A4*B4 =A4-$C$12 =D4^2 =E4*B4
Następnie przekopiuj (odpowiednio) zawartość tych komórek do odpowiedniego obszaru.
Na koniec do komórek C11 i F11 wpisz =SUMA(C4:C10) oraz =SUMA(F4:F10)
3. Oblicz średnią i odchylenie standardowe.
Do komórek C12 i F13 wpisz następujące formuły =C11/B11 oraz
=PIERWIASTEK(1/(B11-1)*F11)
4. Oblicz wartość zmiennej losowej rozkładu t-Studenta dla współczynnika ufności 1 - ą
i N  1 = 24 stopni swobody.
Do komórki G20 wpisz =ROZKA
AD.T.ODW(1-G19;G16-1)
5. Oblicz końce przedziału ufności.
Do komórek E22 i G22 wpisz kolejno =G17-G20*G18/PIERWIASTEK(G16),
=G17+G20*G18/PIERWIASTEK(G16)
6. Oblicz błąd względny szacunku.
Do komórki F24 wpisz =G20*G18/(G17*PIERWIASTEK(G16)) i zastosuj dla niej zapis
procentowy.
Ćwiczenie M.2.8.
W próbie 140-elementowej zaobserwowano frakcję o określonej wartości na poziomie p =
0,29. Przy zało\
onym poziomie ufności l - ą = 0,90 ustal, jaka powinna być liczebność próby,
aby maksymalny błąd szacunku frakcji elementów wyniósł kolejno 4% i 2%.
2
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
RozwiÄ…zanie
Obliczenia wykonaj na podstawie następującego wzoru:
p (1- p)
2
N = ZÄ…
2
d
gdzie:
p - oznacza wskaz
nik struktury (frakcję) z próby,
Zą - to wartość standaryzowanej zmiennej losowej rozkładu normalnego dla zadanego
współczynnika ufności 1 - ą ,
d - oznacza maksymalny (zakładany) błąd szacunku wskaz
nika struktury.
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_2_8.xls.
2. Oblicz liczebność próby przy zało\
onym współczynniku ufności l - ą = 0,90 znanej frakcji
elementów z próby p = 0,29 oraz zadanej precyzji d= 4%.
Do komórki H7 wpisz liczbę 4. Następnie do komórki H9 wpisz formułę
=ZAOKR.W.GÓR
(H4^2*H3*(1-H3)/H7^2;1)
3. Oblicz liczebność próby przy zało\
onym współczynniku ufności 1 - ą = 0,90 znanej frakcji
elementów z próby p = 0,29 oraz zadanej precyzji d = 2%.
Do komórki H7 wpisz liczbę 2.
2. Weryfikacja hipotez
Ćwiczenie M.3.1.
W pewnej cementowni w Wielkopolsce przeprowadzono kontrolÄ™ przestrzegania procedury
pakowania cementu do worków. Zwa\
ono 100 worków i uzyskano średnią ich wagę 49,6 kg.
Norma zakładała, \
e w ka\
dym worku ma być 50 kg cementu. Z poprzednich badań wiadomo,
\
e rozkład wagi produkowanego cementu jest normalny o odchyleniu standardowym à = 0,3.
Na poziomie istotności ą = 0,01 zweryfikuj hipotezę, \
e procedura pakowania nie przebiega
prawidłowo.
RozwiÄ…zanie
Przyjmij następujące zało\
enia (wynikające z treści ćwiczenia):
" hipoteza zerowa H0: M = 50
" hipoteza alternatywna H1: M<50
Skorzystaj ze wzoru na wartość statystyki z próby:
-
X - M
0
Z = N
Ã
gdzie:
3
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
M - oznacza wartość hipotetyczną średniej,
0
-
X - oznacza średnią z próby,
à - określa odchylenie standardowe populacji,
N  to liczebność próby.
Lewostronny obszar krytyczny wyznacz z zale\
ności:
Z d" zÄ…
gdzie:
zą - oznacza wartość standaryzowanej zmiennej losowej rozkładu normalnego dla zadanego
poziomu istotności ą .
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_3_1.xls.
2. Oblicz wartość statystyki Z z próby.
Do komórki H9 wpisz =(H3-50)/H4*PIERWIASTEK(H2)
3. Oblicz zą przy zało\
onym poziomie istotności ą = 0,01.
Do komórki H10 wpisz formułę = -ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-H5)
Ćwiczenie M.3.2.
Jedną z miar wydajności pracy w pewnym du\
ym Fast Foodzie na Mazowszu była liczba
obsłu\
onych klientów w jednostce czasu. Przeprowadzono trzydziestominutową obserwację 25
sprzedawców, ustalając, ilu klientów ka\
dy z tych pracowników obsłu\
ył. Otrzymano średnią
liczbę obsłu\
onych klientów wynoszącą 10,1 osoby oraz odchylenie standardowe równe 1,4
osoby. Zakładając, \
e rozkład obsługiwanych klientów jest normalny, zweryfikuj hipotezę, \
e
średnia liczba obsługiwanych klientów (w okresie największego nasilenia ruchu) w tej
restauracji wynosi 10 osób na 30 minut, przyjmując poziom istotności ą = 0,03.
RozwiÄ…zanie
Przyjmij następujące zało\
enia:
" hipoteza zerowa H0: M = 10
" hipoteza alternatywna H1: M<>10
Skorzystaj ze wzoru na wartość statystyki próby:
-
X - M
0
t = N
^
Sx
4
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
gdzie:
M - oznacza wartość hipotetyczną średniej,
0
-
X - oznacza średnią z próby,
^
S - to odchylenie standardowe z próby,
x
N - oznacza liczebność próby.
Dwustronny obszar krytyczny wyznacz z zale\
ności:
| t | > tÄ…
gdzie:
tą - oznacza wartość zmiennej losowej rozkładu t-Studenta dla zadanego poziomu istotności
Ä… i N  1 stopni swobody.
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_3_2.xls.
2. Oblicz wartość statystyki t z próby.
Do komórki H9 wpisz =(H3-10)/H4*PIERWIASTEK(H2)
3. Oblicz tą przy zało\
onym poziomie istotności ą = 0,03.
Do komórki F10 wpisz =ROZKA
AD.T.ODW(H5;H2-1) natomiast do komórki H10 wpisz
= -ROZKA
AD.T.ODW(H5;H2-1)
Ćwiczenie M.3.3.
Przeprowadzono badanie statystyczne, w którym ustalono długość \
ycia 121 mÄ™\
czyzn i 124
kobiet pochowanych na cmentarzu w jednym z miast na Pomorzu w ostatnim roku. Zakładając,
\
e rozkład długości \
ycia zarówno kobiet, jak i mę\
czyzn jest normalny, zweryfikuj na poziomie
istotności ą = 0,01 hipotezę, \
e średnia długość \
ycia wszystkich mÄ™\
czyzn (M1) i kobiet (M2)
pochowanych na tym cmentarzu nie ró\
niÄ… siÄ™ istotnie. Za hipotezÄ™ alternatywnÄ… przyjmij
zało\
enie, \
e długość \
ycia mÄ™\
czyzn jest krótsza.
RozwiÄ…zanie
Zadanie rozwiÄ…\
dwoma sposobami. Najpierw korzystając z dostępnych funkcji
statystycznych, a następnie wykorzystując narzędzie Analizy danych: Test t.
Przyjmij następujące zało\
enia:
" hipoteza zerowa H0: M1 = M2
" hipoteza alternatywna H1: M1 < M2
5
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
Skorzystaj ze wzoru na wartość statystyki z próby:
- -
x x
1- 2
Z =
2 2
Sx Sx
1 2
+
n1 n2
gdzie:
- -
x , x - oznaczają średnie z próby odpowiednio pierwszej i drugiej,
1 2
2 2
Sx1, Sx2 - oznaczają wariancje z prób,
n1,n2 - to liczebności prób.
Jednostronny obszar krytyczny wyznacz z zale\
ności:
| Z | > zÄ…
gdzie:
zą - oznacza wartość zmiennej losowej standaryzowanego rozkładu normalnego dla
zadanego poziomu istotności ą .
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_3_3.xls.
2. Oblicz średnie z obu prób.
Do komórek I5 oraz I6 wpisz odpowiednio =ŚREDNIA(A3:A123) oraz
=ÅšREDNIA(B3:B126)
3. Oblicz wariancję z prób.
Do komórek I7 oraz I8 wpisz kolejno =WARIANCJA(A3:A123) oraz
=WARIANCJA(B3:B126)
4. Oblicz wartość statystyki Z z próby.
Do komórki I13 wpisz =(I5-I6)/PIERWIASTEK(I7/I3+I8/I4)
5. Oblicz zą przy zało\
onym poziomie istotności ą = 0,01.
Do komórki I14 wpisz =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(I9)
6. Oblicz wartość statystyki Z z próby oraz wartość krytyczną zą stosując Test t Analizy
danych Excela.
Z paska narzędzi wybierz polecenie Analiza danych i wybierz Test t: z dwiema próbami
zakładający nierówne wariancje.
Następnie wprowadz
wartości odpowiednich pól:
Zakres zmiennej 1: $A$3:$A$123
Zakres zmiennej 2: $B$3:$B$126
Ró\
nica średnich wg hipotezy: 0
Alfa: 0,01
6
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
3. Korelacyjny diagram rozrzutu i funkcja regresji
Ćwiczenie M.4.5.
Dany jest zbiór obserwacji w postaci nieuporządkowanej. Wykonaj diagram rozrzutu i określ
model analityczny postaci funkcji regresji.
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_4_5.xls.
2. Wykonaj wykres punktowy dla zmiennych X, Y.
Zaznacz komórki od A2 do B172 i uruchom Kreator wykresów. W kroku l. wybierz typ
punktowy wykresu, a jako podtyp wska\
Punktowy, porównuje pary wartości. W kroku 3. wyłącz
pokazywanie Legendy i Główne linie siatki obu osi, zaś w kroku 4. umieść wykres jako nowy
arkusz.
3. Dopasuj wielkość wykresu.
Kliknij lewym przyciskiem myszy w Obszarze kreślenia na powstałym wykresie (pojawi się ramka
wokół tego obszaru, a na niej punkty uchwytu). Dopasuj wielkość wykresu tak, by długości
osi X i Y były podobne. (Pozwoli to lepiej interpretować dane na wykresie).
Ćwiczenie M.4.7.
^
Dane są: model funkcji regresji o postaci yi = ay + by xi wartość współczynnika korelacji
liniowej Pearsona oraz zbiór 231 wyników obserwacji. Wyznacz parametry funkcji regresji.
Je\
eli znana jest wartość współczynnika rxy to skorzystać mo\
esz z uproszczonego równania
regresji, w którym pozostaną do obliczenia średnie arytmetyczne oraz odchylenia standardowe,
czyli ze wzoru:
^ - -
Ã
yi = rxy y (xi - x) + y
Ã
x
gdzie:
^
yi - oznacza wielkość teoretyczną zmiennej zale\
nej y.
1. Otwórz skoroszyt ĆwiczenieM_4_7.xls.
2. Oblicz odchylenia standardowe i średnie dla zmiennych X, Y.
Do komórek od H3 do H6 wpisz kolejno następujące formuły:
=ODCH.STANDARDOWE(A2:A232)
=ÅšREDNIA(A2:A232)
=ODCH.STANDARDOWE(B2:B232)
=ÅšREDNIA(B2:B232)
3. Oblicz współczynnik regresji oraz wyraz wolny.
Do komórek od H8 do H9 wpisz kolejno =H2*H5/H3, =H8*(-H4)+H6
7
Wy\
sza Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu
Statystyka  laboratorium IV
Literatura, z której pochodzi powy\
szy materiał:
Andrzej Obecny - Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne,
Wydawnictwo Helion 2002
Andrzej Obecny - Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne,
Wydawnictwo Helion 2003
Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka - Statystyka. Elementy teorii
i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu
1999
8