Kwadraty magiczne
i kwadraty
greko-łacińskie
w pracach Eulera
Krótka historia
Kwadrat magiczny Loh-Shu
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Krótka historia
Albrecht Dürer   Melancholia
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
De quadratis magicis
Petersburska Akademia Nauk  17 paz
dziernik 1776
Kwadrat magiczny jest to taka figura, w którą wpisane zostały liczby naturalne
w taki sposób, że suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu oraz obu
przekątnych jest równa.
De quadratis magicis
mx + n
mx  litera łacińska n  litera grecka
a + Ä…
Kwadrat magiczny 3x3
Å‚ ² Ä…
a b c
Ä… Å‚ ²
b c a
² Ä… Å‚
c a b
aÅ‚ b² cÄ…
bÄ… cÅ‚ a²
c² aÄ… bÅ‚
Kwadrat magiczny 3x3
c = 3, Å‚ = 2
2 9 4 8 3 4 2 7 6 8 1 6
7 5 3 1 5 9 9 5 1 3 5 7
6 1 8 6 7 2 4 3 8 4 9 2
a = 0, b = 6 a = 6, b = 0 a = 0, b = 6 a = 6, b = 0
Ä… = 1, ² = 3 Ä… = 1, ² = 3 Ä… = 3, ² = 1 Ä… = 3, ² = 1
Kwadraty magiczne 4x4
a b c d
Kwadraty magiczne 4x4
a b c d
c
Kwadraty magiczne 4x4
a b c d aÄ… b c d
d c b a d cł b a
b a d c b a d´ c
c d a b c d a b²
Kwadraty magiczne 4x4
a b c d aÄ… b´ c² dÅ‚
d c b a d² cÅ‚ bÄ… a´
b a d c bÅ‚ a² d´ cÄ…
c d a b c´ dÄ… aÅ‚ b²
aÄ… a´ d² dÅ‚ 1 4 14 15
dÄ… d´ a² aÅ‚ 13 16 2 3
b´ bÄ… cÅ‚ c² 8 5 11 10
c´ cÄ… bÅ‚ b² 12 9 7 6
Kwadraty magiczne 5x5 i 6x6
b´ cÅ‚ d² eÄ… aµ 8 20 2 21 14
cÄ… d´ aÅ‚ bµ e² 16 3 15 9 22
eÅ‚ b² cµ a´ dÄ… 25 7 19 13 1
dµ aÄ… e´ c² bÅ‚ 4 11 23 17 10
a² eµ bÄ… dÅ‚ c´ 12 24 6 5 18
aÄ… aÅ› a² fµ fÅ‚ f´
fÄ… fÅ› f² aµ aÅ‚ a´
bÄ… bÅ› b² eµ eÅ‚ e´
eÅ› eÄ… eµ b² b´ bÅ‚
cÅ› cÄ… cµ d² d´ dÅ‚
dÅ› dÄ… dµ c² c´ cÅ‚
Recherches sur une nouvelle
espece de quarres magiques
Middelburg w 1782
Problem 36 oficerów:
Kolumna żołnierzy składa się z 36 oficerów z 6 różnych regimentów i w 6
różnych rangach (każdy regiment jest reprezentowany przez 6 oficerów
w różnych rangach). Czy można ich ustawić w kwadrat tak, aby żadna ranga
i żaden regiment nie zostały powtórzone w tym samym wierszu ani w tej samej
kolumnie?
Kwadraty greko-łacińskie -
zamiana
aÄ… bÅ› c´ dÅ‚ e· fµ g² 11 26 34 43 57 65 72
b² c· aµ e´ dÄ… gÅ› fÅ‚ 22 37 15 54 41 76 63
cÅ‚ fÄ… eÅ› gµ a² d· b´ 33 61 56 75 12 47 24
d´ e² f· aÅ› gÅ‚ bÄ… cµ 44 52 67 16 73 21 35
eµ aÅ‚ gÄ… b· f´ c² dÅ› 55 13 71 27 64 32 46
fÅ› g´ d² cÄ… bµ eÅ‚ a· 66 74 42 31 25 53 17
g· dµ bÅ‚ f² cÅ› a´ eÄ… 77 45 23 62 36 14 51
Konstrukcja
1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 4 7 6
3 6 5 7 1 4 2
4 5 6 1 7 2 3
5 1 7 2 6 3 4
6 7 4 3 2 5 1
7 4 2 6 3 1 5
dla wykładnika 1 mamy 1 6 7 3 4 2 5
dla wykładnika 2 mamy 2 5 4 6 1 3 7
dla wykładnika 3 mamy 3 1 2 4 7 5 6
dla wykładnika 4 mamy 4 7 3 5 6 1 2
Formuły przewodnie
dla wykładnika 5 mamy 5 4 1 7 2 6 3
dla wykładnika 6 mamy 6 2 5 1 3 7 4
dla wykładnika 7 mamy 7 3 6 2 5 4 1
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
6 5 2 1
1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 4 7 6
3 6 5 7 1 4 2
4 5 6 1 7 2 3
5 1 7 2 6 3 4
6 7 4 3 2 5 1
7 4 2 6 3 1 5
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
6 5 2 1
1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 4 7 6
3 6 5 7 1 4 2
4 5 6 1 7 2 3
5 1 7 2 6 3 4
6 7 4 3 2 5 1
7 4 2 6 3 1 5
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
6 5 2 1
I kolumna  wykładnik 6 przy 3
4 7 6
6 3 4
II kolumna  wykładnik 6 przy 7
3 1 5
III kolumna  wykładnik 6 przy 4
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
Stopnia I
1 2 3 4 5 6 ... n
2 3 4 5 6 ... n 1
3 4 5 6 ... n 1 2
4 5 6 ... n 1 2 3
5 6 ... n 1 2 3 4
6 ... n 1 2 3 4 5
itd.
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
Stopnia II
1 2 3 4 5 6 ...
2 1 4 3 6 5 ...
3 4 5 6 7 8 ...
4 3 6 5 8 7 ...
5 6 7 8 9 10 ...
6 5 8 7 10 9 ...
itd.
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
Stopnia III
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
2 3 1 5 6 4 8 9 7 ...
3 1 2 6 4 5 9 7 8 ...
4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
5 6 4 8 9 7 11 12 10 ...
6 4 5 9 7 8 12 10 11 ...
itd.
Kwadraty łacińskie stopnia I
n = 2
1 2 11 22
2 1 22 11
Kwadraty łacińskie stopnia I
n = 3
1 2 3 11 23 32
2 3 1 22 31 13
3 1 2 33 12 21
dla wykładnika 1 1 3 2
dla wykładnika 2 2 1 3 Formuły przewodnie
dla wykładnika 3 3 2 1
n = 4
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
W ż20 [2] Euler stwierdza: Dla wszystkich przypadków, gdy n
jest liczbą parzystą, kwadraty łacińskie stopnia pierwszego
nie posiadają rozwiązania, tzn. nie jest możliwe znalezienie
dla nich formuł przewodnich.
Liczba kwadratów
magicznych dla zadanego n
n Liczba odmian
1 0
2 1
3 1 = 1·1 + 0·0
4 3 = 2·1 + 1·1
5 11 = 3·3 + 2·1
6 53 = 4·11 + 3·3
7 309 = 5·53 + 4·11
8 2119 = 6·309 + 5·53
9 16687 = 7·2119 + 6·309
10 148329 = 8·16687 + 7·2119
itd itd
Obliczanie liczby kwadratów
magicznych
P, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno
liczbom n, n+1, n+2, n+3
R = nQ + (n -1)P S = (n +1)R + nQ
R - Q = (n -1)(Q + P)
R - Q
n -1 =
P + Q
S - R = n(Q + R)
Obliczanie liczby kwadratów
magicznych
P, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno
liczbom n, n+1, n+2, n+3
S - R
n =
Q + R
S - R R - Q
1 = -
Q + R P + Q
PQ + 2PR + 2QR + PR
S =
P + Q
" Alter R., How many Latin squares are there, Amer. Math. Monthly,
82 (6) (1975), 632-634.
" Bose R.C, Shrikhande SS., On the falsity of Euler's conjecture about the
non- existence of 2 orthogonal Latin squares of order 4T+2, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 45 (5) (1959), 734-737.
" Finney D. J., Latin squares of the 6th order, Experientia, 2 (10) (1946),
404-405.
" Hedayat A., On a statistical optimality of magic squares, Stat. Probabil. Lett.,
5 (3) (1987), 191-192.
" Kirton H. C., Mutually orthogonal partitions of the Latin squares, Utilitas
Mathematica, 27 (MAY) (1985), 265-274.
" Parker E. T., Orthogonal Latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
45 (6) (1959), 859-862.
" Uko L.U., The anatomy of magic squares, ARS Combinatoria, 67 (2003),
115-128.
" Ullrich P., Officers, playing cards, and sheep - on the history of Eulerian
squares and of the design of experiments, Metrika, 56 (3) (2002), 189-204.
Dziękuję za
uwagÄ™!
Copyright © by Arczi 2009 All rights reserved