REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
co prawda pracownikiem naukowym uni-
Najdoskonalsze kwadraty magiczne
wersytetu, zajmowa" si´ jednak proble-
matykÄ… gospodarczÄ…, psychologiÄ…, a ostat-
zytelnikom REKREACJI prawdo- thematics and Its Applications, South- nio sztucznÄ… inteligencjÄ….
podobnie nieobce sÄ… kwadraty end-on-Sea w Anglii. Z punktu widzenia matematyki wy-
Cmagiczne. WeÄ™my na przyk"ad W ksiÄ…Å»ce przedstawiono pierwsze godnie jest budowaç kwadraty ma-
liczby ca"kowite od 1 do 16 i u"óŻmy znaczÄ…ce cz´Ä˜ciowe rozwiÄ…zanie jedne- giczne rz´du n z liczb ca"kowitych od 0
z nich tablic´ cztery na cztery w taki spo- go z najwi´kszych dotychczas nie rozwi- do n2  1, stÄ…d zarówno w ksiÄ…Å»ce, jak
sób, aby liczby w kaÅ»dym wierszu, w kaÅ»- k"anych problemów tej teorii: obliczenie, i w tym artykule zastosowano t´ konwen-
dej kolumnie i na obu przekÄ…tnych da- ile jest kwadratów magicznych danego cj´. Jednak tradycyjne kwadraty magicz-
wa"y identycznÄ… sum´. JeĘli zdo"amy to rz´du. NajwaÅ»niejszym wynikiem jest ne nie zawierajÄ… zera: zbudowane sÄ…
zrobiç, otrzymamy kwadrat magiczny wzór opisujÄ…cy liczb´ tzw. najdoskonal- z liczb 1, 2,..., n2. Zasadniczo te dwa ro-
rz´du 4. WspólnÄ… sum´ nazywamy sta- szych kwadratów magicznych, czyli dzaje kwadratów niczym si´ nie róŻniÄ….
"ą magiczną tego kwadratu. JeĘli tak samo kwadratów o szczególnie niezwyk"ych JeĘli dodamy 1 do kaŻdego elementu
ustawimy w tablic´ o rozmiarze pi´ç na w"asnoĘciach. Na wypadek gdyby to za- w  matematycznym kwadracie magicz-
pi´ç liczby od 1 do 25, utworzymy kwa- danie nie wydawa"o si´ komuĘ specjal- nym, otrzymamy kwadrat tradycyj-
drat magiczny rz´du 5 itd. nie trudne, wspomn´ tylko, Å»e powyÅ»- ny i na odwrót  jeĘli od kaÅ»dego elemen-
Kwadraty magiczne naleŻą do ulu- szych kwadratów rz´du 12 istnieje tu tradycyjnego kwadratu odejmiemy 1,
bionych tematów matematyki rekreacyj- ponad 22 mld, rz´du 36 natomiast oko"o uzyskamy kwadrat matematyczny. Jedy-
nej i wydaje si´, Å»e zawsze moÅ»na o nich 2.7 x 1044. Nie moÅ»na ich oczywiĘcie po- nie sta"a magiczna ulega zmianie, po-
jeszcze coĘ ciekawego powiedzieç. Du- liczyç, po prostu wszystkie je wypisujÄ…c. wi´ksza si´ bowiem lub zmniejsza o n.
Å»o trudniej jednak jest odkryç istotnie Ollerenshaw i Brée zmierzyli si´ z tym Istnieje tylko jeden kwadrat magiczny
nowÄ… zasad´ w zakresie zwiÄ…zanych problemem, wykorzystujÄ…c kombinato- rz´du 1, a sk"ada si´ on z samej liczby 0.
z nimi regu" matematycznych. Uda"o si´ ryk´, czyli ten dzia" matematyki, który Nie istnieje kwadrat magiczny rz´du 2
to Kathleen Ollerenshaw i Davidowi S. jest sztukÄ… liczenia przedmiotów,,sposo- (i tylko tego rz´du), bo wszystkie jego czte-
Brée w opublikowanej w 1998 roku cu- bem  bez ich wypisywania. Warto nad- ry elementy musia"yby byç z za"oÅ»enia
downej ksiÄ…Å»ce o troch´ odstraszajÄ…cym mieniç, Å»e Å»aden z autorów nie jest typo- równe. Istnieje osiem kwadratów magicz-
tytule Most-Perfect Pandiagonal Magic wym matematykiem-badaczem. 87-letnia nych rz´du 3, ale wszystkie one powsta-
Squares: Their Construction and Enumera- Ollerenshaw przez wi´kszoĘç swojego jÄ… z jednego kwadratu o sta"ej magicznej
tion (Najdoskonalsze pandiagonalne Życia zawodowego zajmowa"a kierowni- 12 w wyniku obrotu lub odbicia:
kwadraty magiczne: ich konstrukcja cze stanowiska w zarzÄ…dach kilku angiel-
i zliczanie), którÄ… wyda" Institute of Ma- skich uniwersytetów. Brée natomiast by"
1 8 3
6 4 2
5 0 7
64 92 81 94 48 77 67 63 50 61 83 78
Kwadrat magiczny po obrocie lub od-
31 99 14 97 47 114 28 128 45 130 12 113
biciu pozostaje nim, wszystkie kwadra-
ty magiczne rz´du 3 sÄ… wi´c zasadniczo
24 132 41 134 8 117 27 103 10 101 43 118
takie same. Istnieje jednak wiele róŻnych
kwadratów magicznych rz´du 4 i licz-
23 107 6 105 39 122 20 136 37 138 4 121
ba kwadratów magicznych gwa"townie
roĘnie wraz z rz´dem. Nie jest znany Å»a-
den dok"adny wzór opisujÄ…cy t´ liczb´.
16 140 33 142 0 125 19 111 2 109 35 126
Jednym ze sposobów poczynienia po-
st´pów w tej dziedzinie jest na"oÅ»enie
75 55 58 53 91 70 72 84 89 86 56 69
na kwadraty magiczne dodatkowych
warunków. W naszym przypadku ta-
76 80 93 82 60 65 79 51 62 49 95 66
kim najbardziej naturalnym warunkiem
jest pandiagonalnoĘç kwadratu  wszyst-
115 15 98 13 131 30 112 44 129 46 96 29
kie,,z"amane przekÄ…tne kwadratu teÅ»
muszÄ… sumowaç si´ do sta"ej magicznej
116 40 133 42 100 25 119 11 102 9 135 26 (z"amane przekÄ…tne zaginajÄ… si´, prze-
chodzÄ…c wzd"uÅ» jednej kraw´dzi bocz-
123 7 106 5 139 22 120 36 137 38 104 21
KWADRAT MAGICZNY rz´du 12 jest naj-
doskonalszy, poniewaÅ» liczby w dowolnym
124 32 141 34 108 17 127 3 110 1 143 18
bloku dwa na dwa (wyróŻnione kwadraty)
dajÄ… w sumie t´ samÄ… liczb´: 286.
71 59 54 57 87 74 68 88 85 90 52 73
Ilustracje: SARAH L. DONELSON
nej kwadratu i kraw´dzi sÄ…siedniej). Oto 0 do 15 w porzÄ…dku rosnÄ…cym jest kwa- dzie tak, by si´ dotyka"y, i znajdujemy
przyk"ad pandiagonalnego kwadratu dratem odwracalnym. W trzecim rz´- miejsce, w którym powinna si´ ona zna-
magicznego o sta"ej magicznej 30: dzie, chociaÅ»by, 8 + 11 = 9 + 10 = 19. T´ leÄ™ç. (Ta metoda nadaje si´ tylko do kwa-
samÄ… w"asnoĘç majÄ… teÅ» inne wiersze dratów rz´du 4. W przypadku ogólnym,
0 11 6 13 oraz wszystkie kolumny (choç z suma- dla kwadratu rz´du n, istnieje podobna
mi innymi niŻ 19). Ponadto równania, metoda wyraŻona wzorem matematycz-
14 5 8 3
takie jak 5 + 11 = 7 + 9 oraz 1 + 15 = 3 + nym). W rezultacie otrzymujemy najdo-
13, są potwierdzeniem, Że spe"niony jest skonalszy kwadrat magiczny:
9 2 15 4
takŻe drugi warunek:
7 12 1 10 0 14 3 13
0 1 2 3
7 9 4 10
Przyk"adami z"amanych kraw´dzi sÄ…
4 5 6 7
tu: 11 + 8 + 4 + 7 oraz 11 + 14 + 4 + 1 
12 2 15 1
obie rzeczywiĘcie sumujÄ… si´ do 30.
8 9 10 11
Kwadrat rz´du 3 nie jest pandiagonalny:
11 5 8 6
na przyk"ad 8 + 2 + 5 = 15, a nie 12.
12 13 14 15
W rzeczywistoĘci kwadraty magiczne Przekszta"cenia te ustalają wzajemną
mogÄ… byç pandiagonalne tylko wtedy, Zazwyczaj kwadraty odwracalne nie odpowiednioĘç pomi´dzy najdoskonal-
gdy ich rząd jest liczbą podwójnie pa- są magiczne, ale Ollerenshaw i szymi kwadratami magicznymi a kwa-
rzystÄ…, tzn. wielokrotnoĘciÄ… 4. Brée udowodnili, Å»e kaÅ»dy kwadrat od- dratami odwracalnymi rz´dów podwój-
Kwadraty najdoskonalsze spe"niajÄ… wracalny rz´du podwójnie parzystego nie parzystych. MoÅ»na zatem okreĘliç
jeszcze ostrzejsze warunki. SÄ… magiczne moÅ»na przekszta"ciç w najdoskonalszy liczb´ najdoskonalszych kwadratów ma-
i pandiagonalne, a dodatkowo mają taką kwadrat magiczny w pewien szczegól- gicznych, licząc kwadraty odwracalne
w"asnoĘç, Å»e kaÅ»de cztery, tworzÄ…ce kwa- ny sposób oraz Å»e kaÅ»dy najdoskonal- tego samego rz´du. Na pierwszy rzut
drat dwa na dwa, sÄ…siednie elementy da- szy kwadrat magiczny daje si´ wspo- oka to inne sformu"owanie problemu
jÄ… takÄ… samÄ… sum´ równÄ… 2n2  2, gdzie mnianÄ… metodÄ… otrzymaç. PostÄ…pimy nie prowadzi zbyt daleko. Okazuje si´
n jest rz´dem kwadratu. (MoÅ»na równieÅ» tak z kwadratem rz´du 4, pokazanym jednak, Å»e kwadraty odwracalne majÄ…
pokazaç, Å»e wspomniana w"asnoĘç dwa powyÅ»ej. Najpierw odwróçmy prawÄ… kilka przyjemnych w"asnoĘci, dzi´ki któ-
na dwa jest warunkiem wystarczajÄ…cym po"ow´ kaÅ»dego rz´du: rym moÅ»na je policzyç.
pandiagonalnoĘci kwadratu magiczne- Zw"aszcza t´, Å»e kwadraty odwracal-
go). Pokazany powyÅ»ej kwadrat rz´du 4 ne dzielÄ… si´ na klasy. W kaÅ»dej klasie
0 1 3 2
jest najdoskonalszy  na przyk"ad cztery wszystkie kwadraty sÄ… ze sobÄ… powiÄ…-
4 5 7 6
elementy kwadratu dwa na dwa: 0, 11, 14 zane róŻnymi przekszta"ceniami, takimi
oraz 5, dajÄ… w sumie 30. Warto zauwaÅ»yç, jak obroty i odbicia, a takÅ»e kilkoma bar-
8 9 11 10
Że w"ączamy w to takŻe kwadraty utwo- dziej skomplikowanymi transformacja-
rzone przez elementy  sÄ…siadujÄ…ce ze so- mi. Aby skonstruowaç wszystkie elemen-
12 13 15 14
bÄ… przez kraw´dzie boczne, takie jak na ty takiej klasy, wystarczy zbudowaç
przyk"ad 3, 4, 14 oraz 9. I bardziej skom- Teraz odwróçmy dolnÄ… po"ow´ kaÅ»- jeden z nich, a nast´pnie zastosowaç do
plikowany przypadek  kwadrat rz´du dej kolumny: niego rutynowe przekszta"cenia. Co wi´-
12 pokazany na poprzedniej stronie jest cej, kaŻda klasa zawiera dok"adnie jeden
równieÅ» najdoskonalszy. 0 1 3 2 ,,g"ówny kwadrat i liczebnoĘç wszyst-
W metodzie liczenia, podanej przez kich klas jest jednakowa. Liczba istot-
4 5 7 6
Ollerenshaw i Brée, kluczowÄ… rol´ odgry- nie róŻnych kwadratów w klasie wyno-
wa zwiÄ…zek pomi´dzy kwadratami naj- si dok"adnie 2n 2((n/2)!)2, gdzie wykrzyk-
12 13 15 14
doskonalszymi i kwadratami  odwracal- nik oznacza silni´ (np. 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
nymi . Aby opisaç te ostatnie, wprowa- x 6 = 720).
8 9 11 10
dzimy nieco terminów. CiÄ…g liczb ca"ko- Pozostaje zatem tylko policzyç, ile ist-
witych ma w"asnoĘç odwrotnego podo- Nast´pnie podzielmy kwadrat na blo- nieje g"ównych kwadratów odwracal-
bieł
stwa, jeĘli po odwróceniu kolejnoĘci ki o wymiarach dwa na dwa. Przesuł
- nych, i pomnoÅ»yç t´ liczb´ przez powyÅ»-
wyrazów i dodaniu odpowiadajÄ…cych so- my 4 wyrazy w kaÅ»dym bloku, tak jak sze wyraÅ»enie. Otrzymamy liczb´
bie liczb, dają one takie same sumy. Na pokazano na poniŻszym rysunku: zasadniczo róŻnych najdoskonalszych
przyk"ad ciÄ…g 1, 4, 2, 7, 5, 8 ma w"asnoĘç kwadratów magicznych danego rz´du.
odwrotnego podobieł
stwa, bo po odwró- Okazuje si´, Å»e liczb´ g"ównych kwadra-
ceniu kolejnoĘci liczb otrzymujemy ciÄ…g tów odwracalnych takÅ»e moÅ»na zapisaç
8, 5, 7, 2, 4, 1 i wszystkie sumy odpowia- pewnym wzorem, mimo Å»e jest on doĘç
dajÄ…cych sobie liczb, czyli 1 + 8, 4 + 5, skomplikowany. Podanie tej formu"y i jej
2 + 7, 7 + 2, 5 + 4 oraz 8 + 1 sÄ… równe 9. dowodu wymaga dalszego zag"´bienia
Kwadrat rz´du n jest odwracalny, gdy si´ w kombinatoryk´, zatrzymam si´
jest tablicÄ… n na n z"oÅ»onÄ… z liczb 0, 1,..., wi´c w tym miejscu, wspomniawszy
n2  1 i spe"niajÄ…cÄ… dwa warunki: kaÅ»dy Wyraz w lewym górnym rogu zosta- tylko, Å»e dla podwójnie parzystych rz´-
wiersz i kaŻda kolumna są odwrotnie je na swoim miejscu, prawy górny prze- dów n = 4, 8, 12 i 16 liczby róŻnych naj-
podobne, a w kaÅ»dej prostokÄ…tnej tabli- suwa si´ po przekÄ…tnej o dwa kwadra- doskonalszych kwadratów magicznych
cy liczb z tego kwadratu sumy elemen- ty, lewy dolny o dwa w prawo, a prawy są równe odpowiednio 48, 386 640,
tów w przeciwleg"ych rogach są równe. dolny o dwa w dó". JeĘli jakaĘ liczba wy- 2.22953 x 1010 oraz 9.322433 x 1014.
Na przyk"ad narysowana poniÅ»ej ta- pada poza kraw´dÄ™ kwadratu o wymia-
T"umaczy"
blica cztery na cztery z"oÅ»ona z liczb od rach cztery na cztery, zawijamy kraw´- Tomasz Úak
ÂWIAT NAUKI StyczeÅ‚
2000 97