REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
Wst�ga M�biusa ma brzeg. To ta kra-
Szklana butelka Kleina
w�dę taĘmy, która nie jest sklejona. Sfe-
ra nie ma brzegu. A czy moŻe istnie�
lan Bennett mieszka w Bedford wierzchnia dwustronna, w drugim  powierzchnia jednostronna bez brzegu?
w Anglii i z zawodu jest dmu- jednostronna. Wszystkie nieparzyste Okazuje si�, Że tak, lecz nie da si� jej
Achaczem szk"a. Kilka lat temu, liczby skr�ceł
prowadzą do powierzch- umieĘci� w przestrzeni trójwymiarowej
zainteresowawszy si� wyst�pującymi ni, które  wewn�trznie są topologicz- bez samoprzeci��.
w topologii tajemniczymi kszta"tami nie takie same jak wst�ga M�biusa. �e- Dla topologów to nie problem wy-
w rodzaju wst�gi M�biusa czy butelki by dowiedzie� si�, dlaczego tak jest, obrazi� sobie powierzchni� w przestrze-
Kleina, natkną" si� na interesującą "ami- musimy rozcią� wst�g�, odkr�ci� wszy- ni wielowymiarowej lub nawet bez Żad-
g"ówk�. Matematyk próbowa"by roz- stkie skr�cenia, oprócz jednego, i po- nej otaczającej ją przestrzeni. Dla
wiąza� ją za pomocą rachunków, ale nownie sklei� wzd"uŻ rozci�cia. Ponie- dmuchaczy szk"a to jednak ograniczenie
Bennettowi wystarczy"o szk"o. Jego ko- waŻ zlikwidowana zosta"a parzysta nie do omini�cia. Ilustracja poniŻej
lekcj� interesujących obiektów, a tak na- liczba skr�ceł
, to po po"ączeniu brze- przedstawia butelk� Kleina wydmucha-
prawd� badawczy projekt  zastyg"y gów rozci�cia dostajemy zwyk"ą wst�- ną przez Bennetta. Inaczej niŻ w zwy-
w szkle, wkrótce b�dzie moŻna ogląda� g� M�biusa. k"ej butelce jej wlot (czyli szyjka) zosta"
na sta"ej wystawie w Science Museum Z tych samych powodów wszystkie wygi�ty w ucho, przeciągni�ty na wylot
w Londynie. wst�gi powsta"e przez parzyste skr�ce- przez powierzchni� i po"ączony z nią
Topolodzy zajmują si� badaniem w"a- nie koł
ców są topologicznie identyczne od Ęrodka. Szklana butelka Kleina przecina
snoĘci, które pozostają niezmienne na- ze zwyk"ym walcem, który nie ma skr�- si� sama ze sobą wzd"uŻ krzywej przy-
wet wtedy, gdy obiekt jest rozciągany, ceł
. Dok"adna liczba skr�ceł
teŻ ma pominającej okrąg; topolodzy ignorują
skr�cany lub zniekszta"cany w inny spo- jednak znaczenie topologiczne, pokazu- jednak to przeci�cie, rozwaŻając idealną
sób. Z jednym wszakŻe zastrzeŻeniem: je bowiem, jak wst�ga jest umieszczona butelk� Kleina bez samoprzeci��.
deformacja musi by� ciąg"a, tzn. obiekt w otaczającej przestrzeni. Pojawiają si� Spróbujmy sobie wyobrazi�, jak wy-
nie moŻe by� trwale rozerwany czy teŻ tu dwa róŻne pytania  jedno dotyczy gląda"oby malowanie butelki Kleina. Za-
poci�ty. (Dopuszcza si� rozci�cia chwi- wewn�trznej geometrii wst�gi, drugie czynamy z  zewnątrz od duŻej bania-
lowe, pod warunkiem jednak, Że osta- związane jest z jej usytuowaniem w prze- stej cz�Ęci, a nast�pnie posuwamy si�
tecznie wszystko b�dzie jak przedtem, strzeni. Pierwsze zaleŻy jedynie od pa- w dó" wzd"uŻ zw�Żającej si� i zawini�-
czyli punkty leŻące blisko siebie przed rzystoĘci (lub nieparzystoĘci) liczby skr�- tej szyjki. Gdy miniemy samoprzeci�-
rozci�ciem, po zakoł
czeniu operacji i ceł
; drugie  od konkretnej liczby. cie, udając, Że nic si� nie sta"o, kontynu-
sklejeniu znów znajdą si� w sąsiedztwie.) ujemy malowanie szyjki, która teraz
W"asnoĘci topologiczne dotyczą teŻ spój- jest wewnątrz bał
ki. W miar� jak szyjka
noĘci: Czy dany obiekt wyst�puje w jed- rozszerza si�, "ącząc z bał
ką, staje si� ja-
nym kawa"ku, czy w kilku? Czy jest za- sne, Że malujemy wn�trze bał
ki. Wida�
w�ęlony? A moŻe ma dziury? wi�c, Że wewn�trzna i zewn�trzna
Wi�kszoĘ� znanych powszechnie strona butelki Kleina "ączą si� ze sobą
kszta"tów topologicznych na pierwszy bez szwów  powierzchnia jest jed-
rzut oka przypomina osobliwe zabaw- nostronna.
ki, jednak konsekwencje ich analizy są Bennett s"ysza", Że gdy rozetnie
znacznie g"�bsze. Istnieje coĘ takiego si� butelk� Kleina wzd"uŻ odpo-
jak wst�ga M�biusa, którą moŻemy wiedniej krzywej, to rozpadnie si�
wykona�, skr�cając doĘ� d"ugi ka- ona na dwie wst�gi M�biusa. Fak-
wa"ek taĘmy, a nast�pnie sklejając tycznie, gdy spróbujemy to zrobi�
jego koł
ce. (W tym artykule  skr�- z butelką Kleina umieszczoną w zwy-
cenie oznacza  obrócenie o 180� , k"ej przestrzeni, nawet ze szklaną, zoba-
cho� niekiedy t� operacj� nazywa czymy, Że obie powsta"e wst�gi mają jed-
si� pó"obrotem.) Wst�ga ta jest naj- no skr�cenie. Bennett zastanawia" si�,
prostszą powierzchnią, która ma jakiego typu kszta"t trzeba by rozcią�, Że-
tylko jedną stron�. Gdyby dwaj by otrzyma� trzykrotnie skr�cone wst�-
malarze usi"owali pomalowa� ta- gi M�biusa. Wykona" wiele róŻnych
ką gigantyczną wst�g� M�biusa z szklanych obiektów, a nast�pnie rozcina"
jednej strony na czerwono, a z dru- je i sprawdza", co powsta"o.  ZauwaŻy-
giej na niebiesko, to wczeĘniej czy "em, Że gdy si� zrealizuje lub zbierze
póęniej weszliby sobie w parad�. wystarczająco wiele wariantów podsta-
JeĘli przed sklejeniem taĘm� skr�- wowego pomys"u, to najbardziej logicz-
cimy wi�cej razy, to otrzymamy róŻne ne albo oczywiste rozwiązanie proble-
odmiany wst�gi M�biusa. Dla topolo- mu samo si� pojawi  napisa".
gów waŻne jest rozróŻnienie pomi�dzy
parzystą a nieparzystą liczbą skr�ceł
.
BUTELKA KLEINA  jednostronna powierzchnia
W pierwszym przypadku powstaje po- wydmuchana w szkle przez Alana Bennetta.
86 �WIAT NAUKI Maj 1998
ZA ZGODŃ ALANA BENNETTA
TRZYSZYJKOWA TRZY BUTELKI Kleina SPIRALNA BUTELKA Kleina INNA WERSJA spiralnej
butelka Kleina jedna w drugiej. rozci�ta na dwie wst�gi butelki Kleina
z siedmioma skr�ceniami.
PoniewaŻ Bennett poszukiwa" trzy-
krotnie skr�conych wst�g M�biusa, ba-
da" wszystkie typy wariacji z liczbą trzy
 takie jak butelki z trzema szyjkami,
a takŻe  co zdumiewające  konfigura-
cje trzech butelek umieszczonych jedna
w drugiej. Najpierw usi"owa" wyobra-
zi� sobie, co by si� sta"o, gdyby rozcią"
te obiekty; nast�pnie robi" to za pomo-
cą diamentu i sprawdza" efekty.
NACZYNIE UROBOROSA, którego szyjka zawini�ta jest
Jego poszukiwania zakoł
czy"y si�
w dwukrotną p�tl�, rozdziela si� na dwie trzykrotnie skr�cone
znalezieniem zadziwiającej butli, któ- wst�gi M�biusa, gdy powierzchni� rozcinamy pionowo.
(Przecinane linie zosta"y dodane, by u"atwi� wizualizacj� problemu.)
rej szyjka zap�tla si� podwójnie, dając
trzykrotne przeci�cie [ilustracja z prawej].
Bennett nazwa" powsta"y obiekt  naczy- butelek, przedstawiona powyŻej na trze-
niem uroborosa  od legendarnego la- ciej fotografii z lewej, po rozci�ciu roz-
tającego smoka, który chcąc zjeĘ� swój pada si� na dwie wst�gi o siedmiu skr�-
ogon, krąŻy" po coraz to mniejszych ceniach, a kaŻdy skr�t spirali prowadzi
okr�gach. Gdy naczynie uroborosa ro- do dwóch dodatkowych skr�ceł
wst�-
zetniemy pionowo wzd"uŻ p"aszczyzny gi. Fotografia ostatnia pokazuje inny
wyznaczającej symetri� lewo prawo wariant  topologiczną deformacj� ty-
(p"aszczyzn� rysunku), to rozpadnie si� powej spiralnej butelki Kleina.
ono na dwie trzykrotnie skr�cone wst�- Wiedząc juŻ, jakie znaczenie mają skr�-
gi M�biusa. I problem rozwiązany. cenia spiralne, Bennett uĘwiadomi" sobie,
Jak przysta"o na matematyka, Ben- Że moŻe powróci� do pierwotnej butel- ORYGINALNA butelka Kleina
rozci�ta wzd"uŻ krzywej spiralnej.
nett nie zaprzesta" stawiania pytał
. Co ki Kleina,  odkr�cając spiral�. Linia,
z pi�ciokrotnie skr�coną wst�gą? A skr�- wzd"uŻ której spiralna butelka Kleina
coną dziewi�tnastokrotnie? Jaka jest powinna by� rozci�ta, równieŻ si� defor- woĘ� rozci�cia butelki Kleina na dwie
ogólna zasada? Dok"adając jeszcze jed- muje. Podczas gdy spiralna szyjka butel- raz skr�cone wst�gi M�biusa. Butelk�
ną p�tl�, szybko uzyska" rozwiązanie ki si� odkr�ca, linia rozci�cia zostaje skr�- Kleina da si� jednak równieŻ rozcią�
dla pi�ciokrotnie skr�conej wst�gi. KaŻ- cona. Tak wi�c jeĘli rozetniemy typową wzd"uŻ innej krzywej i wówczas otrzy-
da dodatkowa p�tla powoduje dwa do- butelk� Kleina wzd"uŻ krzywej spiral- mamy tylko jedną wst�g� M�biusa.
datkowe skr�cenia. nej, to moŻemy uzyska� tyle skr�ceł
, ile Problem ten zostawiam czytelnikom,
Nast�pnie Bennett uproĘci" kszta"t dusza zapragnie  w opisywanym przy- a rozwiązanie Bennetta przedstawi� nie-
spiralnych butelek Kleina, dzi�ki cze- padku dziewi��. bawem w  Sprz�Żeniu zwrotnym .
mu sta"y si� zgrabniejsze. Jedna z takich A na koniec ciekawostka. Pierwotną
T"umaczy"a
motywacją opisanej pracy by"a moŻli- Anna Orzechowska
SPRZó�ENIE ZWROTNE
ielu czytelników nades"a"o informacje dotyczące artyku"u  Kwadratowanie
Wkwadratów [�wiat Nauki, wrzesieł
1997]. C. J. Bouwkamp z Eindhoven, spe-
cjalista w kwadratowaniu kwadratów, przys"a" mi liczne uwagi. Najpierw pomyli"em
inicja"y. Powinno by� A. J. W. Duijvestijn i C. J. Bouwkamp. Nast�pnie  to w 1969 ro-
ku P. J. Federico opublikowa" proste perfekcyjnie pokwadratowane prostokąty z jed-
nym bokiem dublującym drugi, a fakt ten znany by" nawet jeszcze wczeĘniej. I co
zaskakujące, szeĘcian o boku 3 031 451 daje si� pokry� 70 róŻnymi kwadratami.
Jak to wygląda, moŻna obejrze� na stronie internetowej Scientific American
(http://www.sciam.com).
DWIE WSTóGI M�BIUSA jako rezultat
klasycznego rozci�cia butelki Kleina.
�WIAT NAUKI Maj 1998 87
ZA ZGODŃ ALANA BENNETTA
ILUSTRACJE LAURIE GRACE