REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
doskonale naturalna, jednoczeĘnie jest
Cementowe krajobrazy
tak sztuczna  Alpy nowego rodzaju.
Bardziej trafne b´dzie porównanie z
restiŻowe pismo Nature obok prac Ęcie do redaktora naczelnego Nature za- uk"adem piaszczystych wydm. InŻynie-
poĘwi´conych zaawansowanym mieszczonym 29 stycznia 1998 roku Ad- rom budownictwa lÄ…dowego nie sÄ… ob-
Pbadaniom publikuje artyku"y do- rian Webster, astronom z Royal Obse- ce pytania o to, w jaki sposób sypkie
tyczące nauki eklektycznej. Sta"ą rubry- rvatory w Edynburgu, stwierdza, Że materia"y, takie jak piasek, ziemia czy
ką jest w nim  Art and Science (Sztu- ciekawa geometria krajobrazów Callana suchy cement, tworzą kopce. Najprost-
ka i Nauka), której tytu" mówi sam za da si´ opisaç za pomocÄ… bardziej kla- szÄ… i jednoczeĘnie najbardziej istotnÄ… ce-
siebie. W numerze z 11 grudnia ub. r. sycznej dziedziny matematyki  teorii chÄ… takich konstrukcji jest  kÄ…t krytycz-
historyk sztuki Martin Kemp opisuje in- komórek Woronoja. WyjaĘni" takŻe, Że ny . Dla kaŻdego sypkiego materia"u
teresujące krajobrazy londył
skiego ar- za pomocą komórek Woronoja moŻna istnieje maksymalna stromizna, która
tysty Jonathana Callana. W odróŻnieniu zilustrowaç najnowsze odkrycie astro- wytrzymuje bez rozpadania si´. Pochy-
od konwencjonalnych pejzaÅ»y prace Cal- nomii: przypominajÄ…cy pian´ mydlanÄ… "oĘç obsuwa si´, gdy zostaje przekro-
lana są rzeębami, a nie obrazami. Ponad- rozk"ad materii we WszechĘwiecie. JeĘli czony pewien okreĘlony kąt, który stok
to jego dzie"a nie przypominają nicze- istnieją przyk"ady Ęcis"ego związku ma- tworzy z poziomem gruntu  tzw. kąt
go, co moÅ»na zobaczyç na Ziemi czy teÅ» tematyki, sztuki i nauki, to takimi sÄ… krytyczny. Kiedy cienkÄ… strugÄ… usypu-
gdziekolwiek indziej. SÄ… to trójwymia- w"aĘnie rzeÄ™by Callana. jemy kupk´ piasku, stromizna jej sto-
rowe formy powsta"e przez sypanie ce- JuÅ» pierwsi malarze jaskiniowi odwo- ków b´dzie si´ stopniowo zwi´kszaç,
mentu na perforowanÄ… desk´. "ywali si´ w swych dzie"ach do proce- aÅ» osiÄ…gnie kÄ…t krytyczny. KaÅ»da dodat-
Kemp, profesor Wydzia"u Historii w sów fizycznych i chemicznych. Staro- kowa iloĘç piasku spowoduje mniejszÄ…
University of Oxford, dostrzeg" zwiÄ…- Å»ytni greccy i rzymscy rzeÄ™biarze lub wi´kszÄ… lawin´ przywracajÄ…cÄ… sta"e
zek mi´dzy rzeÄ™bami Callana a ostatni- potrafili rozbijaç kamienie i odlewaç cie- nachylenie. Uzyskany mocno stabilny
mi pracami w dziedzinie teorii z"oŻo- k"y brąz w formach. Malarze renesan- kszta"t w tym najprostszym modelu to
noĘci. Wygląda na to, Że fantastycznymi sowi badali w"asnoĘci barwników. Tra- stoŻek, którego powierzchnia boczna
krajobrazami rządzą pewne ogólne pra- dycyjna technika artystyczna polega"a nachylona jest dok"adnie pod kątem
wa  na przyk"ad najwyŻsze cemento- na kontrolowaniu procesów fizycz- krytycznym.
we szczyty powstają zawsze w rejonach nych w celu otrzymywania poŻądanych SpecjaliĘci od teorii z"oŻonoĘci bada-
najbardziej oddalonych od dziur. W li- kszta"tów rzeÄ™b i odpowiednich malo- jÄ… procesy, dzi´ki którym stok uzysku-
wide". Callan zalicza si´ do nielicznych, je ten kszta"t, oraz natur´ mniejszych
którzy zarzucili t´ technik´, pozwala- lub wi´kszych lawin towarzyszÄ…cych
jąc, by procesy fizyczne i chemiczne za- jego budowie. Duł
ski fizyk Per Bak
chodzące w uŻywanych materia"ach uku" nawet dla tych procesów termin
determinowa"y podstawowe cechy ich  samoorganizujÄ…ca si´ krytycznoĘç
dzie". i zasugerowa", Å»e mogÄ… one modelowaç
Callan rozpoczyna tworzenie rzeęby wiele waŻnych cech Ęwiata przyrody, a
od wywiercenia przypadkowego wzo- w szczególnoĘci ewolucj´ (w której pro-
ru dziur w poziomej desce. Nast´pnie cesy lawinowe dotyczÄ… nie ziaren pia-
równomiernie przesiewa przez nią ce- sku, lecz ca"ych gatunków; wzniesienia
ment. Troch´ cementu przelatuje przez w tym abstrakcyjnym Ęwiecie sÄ… poten-
dziury, cz´Ä˜ç tworzy kupki pomi´dzy cjalnymi organizmami).
nimi. Rzeęba twardnieje, absorbując wil- W dzie"ach Callana struktura ce-
goç z powietrza. Rezultat koÅ‚
cowy mentu wokó" kaŻdej dziury jest odwrot-
przypomina powierzchni´ ksi´Å»ycowÄ… noĘciÄ… wznoszonych przez inÅ»ynierów
z postrz´pionymi szczytami otoczony- budownictwa lÄ…dowego stoÅ»kowych
mi urwiskami kraterów. Callan porów- pali piaskowych. RozwaŻmy przypa-
nuje swoje rzeęby do gór typu ziem- dek poziomej deski z jedną dziurą. Z da-
skiego:  Geografia, która wydaje si´ la od dziury cement wznosi si´ w kaÅ»-
SYPIŃCY SIó
PROSZEK
POSTRZóPIONE KRATERY
pokrywajÄ… powierzchni´ jednej
z cementowych rzeęb
KŃT KŃT
Jonathana Callana (zdj´cie).
KRYTYCZNY KRYTYCZNY
Zbocza kaÅ»dego krateru wznoszÄ… si´
pod tym samym kÄ…tem, co zbocza
SYPIŃCY SIó stoŻkowego wzniesienia usypanego
PROSZEK
z cementu (z lewej).
ÂWIAT NAUKI Lipiec 1998 79
Za zgodÄ… HALES GALLERY
LAURIE GRACE
KOMÓRKI WORONOJA moŻemy
dym kierunku pod kÄ…tem krytycznym,
otrzymaç, prowadzÄ…c symetralne
tworzÄ…c stoÅ»kowÄ… depresj´ o wierz-
do odcinków "ączących Ęrodki dziur.
cho"ku w centrum dziury [ilustracja na
poprzedniej stronie]. Te odwrócone stoŻ-
ki to formy sk"adajÄ…ce si´ na krajobra-
zy Callana. Å»y . Komórki Woronoja nazywa si´ jesz-
A co moÅ»na powiedzieç o geometrii cze inaczej dziedzinami Dirichleta lub
uk"adu z"oŻonego z kilku dziur? Klu- komórkami Wignera-Seitza, poniewaŻ
czowym spostrzeŻeniem jest fakt, Że odkrywano je ponownie przy okazji róŻ-
spadajÄ…cy cement, który przesÄ…cza si´ nych niezaleÅ»nych od siebie sytuacji.
przez desk´, b´dzie przelatywaç przez Kratery Callana majÄ… kszta"t odwró-
dziur´ najbliÅ»szÄ… miejsca jego upadku. conych stoÅ»ków o jednakowych kry-
¸atwo wi´c przewidzieç, gdzie znajdÄ… tycznych kÄ…tach nachylenia i spotykajÄ…
si´ linie graniczne pomi´dzy stoÅ»ko- si´ wzd"uÅ» boków komórek Woronoja
wymi kraterami. Podzielmy desk´ na okreĘlonych przez uk"ad dziur. JednÄ…
obszary otaczające dziury w ten sposób, wygodną konsekwencją tej geometrii
Å»e kaÅ»dy z nich zawiera punkty bliÅ»- jest fakt, Å»e wzniesienia spotykajÄ… si´ na
sze danej dziurze niŻ jakiejkolwiek z tej samej wysokoĘci nad deską  nie wy-
pozosta"ych. Taki obszar jest  sferÄ… st´puje ostra nieciÄ…g"oĘç. InnÄ… cech´,
wp"ywów otaczanej dziury. Mówiąc mniej oczywistą, moŻna takŻe wydedu-
tak, pami´tajmy jednak, Å»e jest to w kowaç: kszta"t grzbietu, gdzie jeden
rzeczywistoĘci wielokąt, a nie sfera. Za- krater przechodzi w drugi. Teoretycz-
"oŻenie, Że deska pozostaje pozioma, nie rzecz biorąc, mamy dwa odwrócone
sprawia, iÅ» granice pomi´dzy obsza- stoÅ»ki wznoszÄ…ce si´ pod identyczny-
rami znajdujÄ… si´ bezpoĘrednio pod mi kÄ…tami. SpotykajÄ… si´ one wzd"uÅ» sy-
wspólnymi granicami przyleg"ych metralnej odcinka "ączącego Ęrodki 
kraterów. nad brzegiem komórki Woronoja. W re-
W celu opisania jednego z takich ob- zultacie ich przeci´cie leÅ»y w p"aszczyÄ™-
szarów wybieramy jakąĘ dziur´ i pro- nie pionowej przechodzÄ…cej przez lini´
wadzimy linie z jej Ęrodka do Ęrodków brzegu. Jaką krzywą otrzymamy, prze-
wszystkich innych dziur [górna ilustra- cinając stoŻek p"aszczyzną pionową?*
cja z prawej]. Nast´pnie przez Ęrodki StaroÅ»ytni Grecy znali odpowiedÄ™  b´-
narysowanych linii prowadzimy linie dzie to hiperbola. Fakt ten pomaga wy-
do nich prostopad"e (mówiÄ…c inaczej, t"umaczyç silnie postrz´pionÄ… natur´
rysujemy osie symetrii).W rezultacie krajobrazów Callana.
otrzymujemy sieç przecinajÄ…cych si´ sy- Co to wszystko ma wspólnego z
metralnych. Teraz znajdujemy najmniej- astronomiÄ…? Zamiast dziur na p"asz-
szy obszar wypuk"y ograniczony przez czyęnie wyobraęmy sobie punkty w tych p"aszczyzn. Teraz komórka Woro-
elementy opisanej sieci i zawierający trójwymiarowej przestrzeni. Na p"asz- noja jest wieloĘcianem. Astronomowie
wybranÄ… dziur´. Obszar ten nazywamy czyÄ™nie symetralna odcinka jest liniÄ… odkryli ostatnio, Å»e wielkoskalowe roz-
komórką Woronoja. KaŻda dziura oto- prostą, natomiast w przestrzeni to p"asz- mieszczenie materii we WszechĘwiecie
czona jest jednÄ… i tylko jednÄ… komórkÄ… czyzna. PoprowadÄ™my te p"aszczyzny przypomina sieç takich wieloĘcianów.
Woronoja; wszystkie te komórki wype"- dla odcinków "Ä…czÄ…cych zadany punkt Wi´kszoĘç gromad galaktyk wydaje si´
niajÄ… p"aszczyzn´. Gieorgij F. Woronoj ze wszystkimi pozosta"ymi. KomórkÄ… skupiaç na brzegach otaczajÄ…cych ko-
(1868 1908) by" rosyjskim matema- Woronoja dla tego punktu b´dzie naj- mórki Woronoja. Wzór ten nazwany zo-
tykiem, specjalistÄ… w dziedzinie teorii mniejszy obszar wypuk"y otaczajÄ…cy da- sta" pianÄ… Woronoja, gdyÅ» wyglÄ…da jak
liczb i wielowymiarowych  parkieta- ny punkt i wyznaczony przez cz´Ä˜ci gigantyczna wype"niona baÅ‚
kami my-
dlanymi wanna.
Zachodzi analogia  nieca"kowita,
lecz pouczajÄ…ca  z rozmieszczeniem ce-
SPRZóÚENIE ZWROTNE
mentowego proszku w krajobrazach
Callana. W jego rzeębach usypane kup-
rtyku" o podwójnej bał
ce [Âwiat Nauki, marzec br.] przysporzy" czytelnikom
ki najwyÅ»ej wznoszÄ… si´ wzd"uÅ» brze-
Awi´cej trudu i zmartwieÅ‚
niŻ przyjemnoĘci. Kilka osób zauwaŻy"o, Że jedna
gów Woronoja. Odpowiednia w"asnoĘç
z b"on na zamieszczonej fotografii nie mia"a kszta"tu minimalnej powierzchni  ka-
w przestrzeni trójwymiarowej wyglą-
tenoidy. Prawdziwa katenoida, odpowiadająca opisowi w tekĘcie, jest bardziej Ęci-
da"aby nast´pujÄ…co: poniewaÅ» Wszech-
Ęni´ta w talii i  roz"oÅ»ysta na brzegach.
Ęwiat si´ rozszerza, materia skupia si´
SkÄ…d ta rozbieÅ»noĘç pomi´dzy idealnym kszta"tem
wzd"uŻ analogicznych brzegów. Tak
a fotografią? W rzeczywistoĘci kszta"t b"ony mydla-
wi´c jedna prosta idea "Ä…czy ze sobÄ…
nej powstajÄ…cej pomi´dzy dwoma równoleg"ymi
frapujÄ…cÄ… sztuk´, eleganckÄ… matematy-
pierĘcieniami zaleÅ»y od tego, jak daleko je odsuni´to
w stosunku do ich Ęrednicy. JeĘli odsuwanie prze- k´ i fizyczny opis struktury Wszech-
kroczy pewnÄ… krytycznÄ… wartoĘç, jak sta"o si´ to na Ęwiata.
T"umaczy"a
fotografii, b"ona wyd"uÅ»a si´, a nast´pnie przery-
Anna Orzechowska
wa, tworząc dwa roz"ączne dyski, z których kaŻdy
* Chodzi o p"aszczyzn´ równoleg"Ä… do osi stoÅ»ka,
jest rozpi´ty na jednym pierĘcieniu.
w przeciwnym razie przekrojem nie musi byç hiper-
bola (przyp. t"um.).
LAURIE GRACE