REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
choçby ABCD, moÅ»na roz"oÅ»yç podob-
RozjaĘnianie ciemnoĘci
nie jak sam trójkąt. Na przyk"ad kawa-
"ek promienia BCD wewnÄ…trz jest odbity
od Ęciany ED i staje si´ BC D po drugiej jej
ngela znajduje si´ w pokoju, któ- równy kÄ…towi odbicia [patrz takÅ»e po- stronie. Nast´pnie C D na skutek odbicia
rego Ęciany idealnie odbijajÄ… przedni artyku" w tym cyklu  na temat wzgl´dem EF przechodzi w C D . Tak
AĘwiat"o. GdzieĘ w tej Lustrzanej sznurówek]. Tam, gdzie tych kÄ…tów nie wi´c ABCD si´ rozk"ada, w wyniku cze-
Komnacie jej przyjaciel Bruno zapali" za- da si´ dobrze okreĘliç  na przyk"ad na go otrzymujemy ABC D . ZauwaÅ»my, Å»e
pa"k´. Czy Angela, rozglÄ…dajÄ…c si´, mo- kraw´dzi2 lub w wierzcho"ku  przy- ABCD koÅ‚
czy si´ w D, poniewaÅ» jest to
Å»e zobaczyç zapa"k´ Brunona lub jej od- jmujemy, Å»e promieÅ‚
Ęwietlny jest ab- wierzcho"ek trójkąta; odpowiednio 
bicie niezaleÅ»nie od tego, jak wzgl´dem sorbowany i koÅ‚
czy swojÄ… w´drówk´.  rozwini´ty punkt D jest punktem siat-
siebie oboje stoją i jakiego kszta"tu jest Odpowiedę na to pytanie w przypad- ki. Prawo odbicia gwarantuje, Że ABC D
pokój? Lub pytanie równowaŻne: czy ku p"askiego wielokątnego pokoju opu- jest linią prostą  to bardzo istotne dla
Ęwiat"o zapa"ki wype"ni ca"y pokój blikowa" George W. Tokarsky w grudnio- dalszej cz´Ä˜ci dowodu.
w kaÅ»dym jego punkcie bez wzgl´du na wym numerze American Mathematical Pokolorowa"em trzy wierzcho"ki trój-
to, gdzie umieĘcimy zapa"k´? Monthly z roku 1995 (tom 102, nr 10). Je- kÄ…ta tak, Å»e wierzcho"ek A 45-stopniowe-
Po raz pierwszy problem ten sformu- go elegancki dowód zawiera  trik odbi- go kąta jest czarny, wierzcho"ek E bia"y,
"owa" Victor Klee w 1969 roku, ale jego ciowy i tak jak wszystko, co najlepsze a wierzcho"ek kÄ…ta prostego D czerwo-
początki są wczeĘniejsze; juŻ w latach w matematyce, jest zadziwiająco prosty. ny. KaŻdy wierzcho"ek siatki jest takŻe
pi´çdziesiÄ…tych zajmowa" si´ nim Ernst Podstawowy pomys" polega na prze- pokolorowany zgodnie z kolorem wierz-
Straus. Zadanie ma kilka wariantów. Po- analizowaniu najpierw sytuacji dla rów- cho"ka trójkąta, któremu odpowiada przy
kój moÅ»e byç dwu- lub trójwymiarowy noramiennego trójkÄ…ta prostokÄ…tnego  rozwini´ciu. PokaÅ»´, Å»e jeĘli istnieje dro-
(w tym przypadku sufit i pod"oga rów- po"owy kwadratu podzielonego prze- ga prowadząca od A z powrotem do A,
nieÅ» muszÄ… byç lustrami). MoÅ»e mieç Ęcia- kÄ…tnÄ…. Taki trójkÄ…t oznaczony AED [ilu- to musi ona wczeĘniej przejĘç przez czer-
ny p"askie  b´dÄ…c wielokÄ…tem w dwóch stracja poniÅ»ej] moÅ»na  rozwinÄ…ç w re- wony lub bia"y wierzcho"ek  wtedy
wymiarach lub wieloĘcianem w trzech  gularnÄ… siatk´ poprzez kolejne odbicia oczywiĘcie promieÅ‚
jest poch"aniany.
albo teÅ» zakrzywione. We wszystkich wzgl´dem jego trzech boków. By udowodniç to stwierdzenie, wy-
wersjach standardowa matematyczna UŻyjmy najpierw tej siatki do wykaza- obraęmy sobie, Że znaleęliĘmy taką dro-
idealizacja polega na zastÄ…pieniu oka An- nia podstawowej w"asnoĘci: jeĘli umie- g´ z A do A. Rozk"adajÄ…c jÄ… zgodnie
geli i p"omienia zapa"ki Brunona punk- Ęcimy zapa"k´ w jednym z 45-stopnio- z procesem rozwijania trójkÄ…ta, otrzy-
tami. Te dwa punkty nie mogÄ… znajdo- wych rogów tego trójkÄ…tnego pokoju mujemy lini´ prostÄ… koÅ‚
czÄ…cÄ… si´
waç si´ na brzegu1 pokoju; co wi´cej, (oznaczonym literÄ… A), to Å»aden promieÅ‚
w czarnym punkcie siatki A . Te czar-
przyjmujemy, Że są one przezroczyste. wychodzący z tego rogu nie moŻe po- ne kropki są umieszczone w punktach
Zasada odbicia jest ta sama w przy- wróciç do zapa"ki. By to stwierdziç, za- siatki oddalonych o parzystÄ… liczb´ jed-
padku kaŻdej Ęciany:  kąt padania jest uwaŻmy najpierw, Że dowolny promieł
, nostek w obu kierunkach, pionowym
i poziomym. Mówiąc inaczej, ich wspó"-
rz´dne sÄ… liczbami parzystymi. Ârodek
odcinka AA ma zatem co najmniej jed-
nÄ… wspó"rz´dnÄ… nieparzystÄ…  jest to
wi´c punkt czerwony lub bia"y.
Rozumowanie to jest niepoprawne, gdy
obie wspó"rz´dne sÄ… wielokrotnoĘciami
czterech. Ale w tym przypadku punkt
A
Ęrodkowy A  odcinka AA ma parzyste
wspó"rz´dne, spróbujmy wi´c przepro-
wadziç podobne rozumowanie dla odcin-
ka A A  . Ârodek tego odcinka jest czer-
E wonym lub bia"ym punktem siatki, lub
A  ma wspó"rz´dne b´dÄ…ce wielokrotno-
D Ęciami czterech. W tym przypadku za-
C C
miast A  rozwaŻamy Ęrodek A   odcin-
ka A A  i kontunuujemy nasz wywód. Po
B
skoł
czonej liczbie takich zmian musimy
natrafiç na odcinek, którego Ęrodek ma
nieparzystÄ… wspó"rz´dnÄ…. Na przyk"ad
D
gdy punkt A ma wspó"rz´dnÄ… 48 pozio-
A F
mo i 28 pionowo, to A  ma wspó"rz´dne
SIATKA GENEROWANA przez trójkąt prostokątny
(24,14) i A   ma wspó"rz´dne (12,7), czyli
jest kluczem do zrozumienia odbiç w pokoju lustrzanym AED.
Ęrodek A   odcinka AA  jest czerwonym
Promieł
Ęwiat"a wychodzÄ…cy z A i odbijajÄ…cy si´ od Ęcian moÅ»e byç  rozwini´ty
w lini´ prostÄ… w siatce. Koniec tej linii ujawnia los pierwotnego promienia.
lub bia"ym punktem siatki.
ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1996 81
JOHNNY JOHNSON
 Wewnątrz nie ma Żadnej czerwo-
nej ani bia"ej kropki.
Wszystkie czerwone i bia"e kropki
umieszczone na brzegu pokoju sÄ… jego
wierzcho"kami.
Promieł
, który przechodzi przez czer-
wonÄ… lub bia"Ä… kropk´, musi wtedy tra-
fiç w wierzcho"ek i zostaç poch"oni´ty 
ANGELA
BRUNO
a zatem promieł
ten nie istnieje.
JeĘli przystąpicie do konstruowania
takich pokoi, natychmiast stwierdzicie,
Że wymaga to pewnej pomys"owoĘci.
Trzeba na przyk"ad do"oÅ»yç trójkÄ…ty,
Å»eby wprowadziç dodatkowe zgi´cia
na brzegu; jeĘli nie zachowa si´ ostroÅ»-
noĘci, to zgi´cia te otrzymajÄ… dodatko-
we punkty wewn´trzne siatki pokoju,
przez co byç moÅ»e nie zostanie spe"nio-
ny drugi warunek.
Pokój przedstawiony na ilustracji zbu-
W LUSTRZANYM POKOJU utworzonym z trójkątów siatki
dowano z 39 odbitych kopii prostokÄ…t-
Żadne Ęwiat"o wys"ane przez Brunona nie dociera do Angeli.
nego trójkąta równoramiennego; w arty-
kule Tokarsky ego podobny pokój tworzy
Tak wi´c dowolna roz"oÅ»ona droga diagonalne segmenty tej trójkÄ…tnej siatki 29 trójkÄ…tów. MoÅ»e potraficie znaleÄ™ç ta-
"Ä…czÄ…cÄ… A z czarnym punktem musi tra- [ilustracja powyÅ»ej]. PrzypuĘçmy, Å»e pro- ki pokój lub inne? Tokarsky rozwija tak-
fiç w czerwony lub bia"y punkt siatki. mieÅ‚
Ęwiat"a odbija si´ wewnÄ…trz takie- Å»e podobnÄ… teori´ dla pokoi otrzymanych
JeÅ»eli wi´c z"oÅ»ymy t´ drog´ z powro- go pokoju, przebiegajÄ…c od Brunona do poprzez rozwini´cie kwadratu lub trój-
tem, to stwierdzimy, Że pierwotna trasa Angeli. Oboje stoją w czarnych punktach. kątów o innych kszta"tach, a takŻe dla
wpada"a w jeden z pozosta"ych dwóch MoÅ»emy wtedy z"oÅ»yç ten promieÅ‚
trójwymiarowych pokoi otrzymanych na
wierzcho"ków, zanim powróci"a do A. i otrzymaç drog´ w trójkÄ…cie generujÄ…cym podobnych zasadach.
MoÅ»emy skonstruowaç wielokÄ…tne po- siatk´. Pozwoli to teÅ» wykazaç, Å»e dowol- Przyk"ady te pokazujÄ…, Å»e w wielokÄ…t-
koje, "Ä…czÄ…c ze sobÄ… poziome, pionowe lub na droga pomi´dzy dwoma czarnymi nym pokoju moÅ»na znaleÄ™ç miejsca, któ-
punktami musi trafiç rych nie da si´ oĘwietliç jednÄ… zapa"kÄ….
na czerwony lub bia"y JednakŻe udowodniliĘmy tylko, Że ist-
wierzcho"ek, co ozna- nieje co najmniej jeden punkt nie oĘwie-
cza po roz"oŻeniu, Że tlony. Czy moŻliwe jest zatem, by istnia"
nasz promieł
musi ca"y obszar o niezerowej powierzchni,
przejĘç przez czerwo- który takÅ»e by"by nie oĘwietlony? Ten
nÄ… lub bia"Ä… kropk´. problem jest duÅ»o trudniejszy. Wiemy,
BRUNO ANGELA Za"óŻmy, Że spe"nione Że promienie wychodzące od Brunona
sÄ… trzy warunki: mogÄ… przechodziç tak blisko, jak tylko
chcemy, obok Angeli  udowodniliĘmy
Czarne kropki jedynie, Å»e nie mogÄ… trafiç w jej g"ow´.
przedstawiajÄ…ce po- OdpowiedÄ™ dla wielokÄ…tnych pokoi
"oŻenia Angeli i Bru- nie jest znana. Ale Roger Penrose ze
KWADRATOWE BLOKI tworzÄ…
nona znajdujÄ… si´ we- wspó"pracownikiem wykazali w 1958 ro-
inny pokój lustrzany, w którym Angela nie widzi
wnątrz pokoju. ku, Że jeŻeli pokój ma zakrzywione boki,
zapalonej zapa"ki Brunona.
SPRZóÚENIE ZWROTNE
(Missouri) oraz Davidowi Weiblenowi z Reston (Wirginia). Dzi´-
ki nim nauczy"em si´ bardzo wiele  tak duÅ»o, Å»e zamierzam
ajwi´cej listów dosta"em jak na razie po artykule o grze w Mo- napisaç specjalny artyku" o ich wynikach, a takÅ»e o innych, któ-
Nnopoly. Czytelnicy na ogó" zwracali uwag´, Å»e analiza pomi- re do mnie dotar"y.
ja"a sporo elementów prawdziwej gry, a mianowicie pole  Idziesz Pole  Idziesz do wi´zienia daje  niesymetryczny rozk"ad praw-
do wi´zienia , ale takÅ»e pola  Zasi"ek spo"eczny oraz  Szansa . dopodobieÅ‚
stwa. Pole wi´zienne jest najcz´Ä˜ciej odwiedzanym
Na tej podstawie jedni czytelnicy sądzili, Że nie znam zasad gry, polem, z prawdopodobieł
stwem 5.89%, co naleÅ»y porównaç z war-
inni zaĘ wywnioskowali (prawid"owo), Że przyją"em pewne uprosz- toĘcią  równego rozk"adu 2.5% (lub 2.44%, gdy rozróŻnimy  Od-
czenia bez ich ujawniania. KtoĘ zastanawia" si´, czy to nie by" Å»art wiedziny w wi´zieniu i  Wi´zienie , co wydaje si´ ca"kiem sen-
 nie, w kaÅ»dym razie nie zamierzony! sowne). Nast´pnym najbardziej prawdopodobnym polem, na którym
Kilku korespondentów uzupe"ni"o brakujÄ…cÄ… analiz´ rzeczywi- si´ znajdziemy, jest  Illinois Avenue z prawdopodobieÅ‚
stwem
stej gry. W szczególnoĘci chcia"bym podzi´kowaç Stephenowi 3.18%. Najrzadziej odwiedzanym polem jest trzecie pole  Szan-
Abbottowi z Northfield (Minnesota), Williamowi J. Butlerowi z Por- sa po  Start z prawdopodobieł
stwem 0.871%  z wyjÄ…tkiem oczy-
tsmouth (Rhode Island), Thomasowi H. Friddellowi z Maple Val- wiĘcie  Idziesz do wi´zienia , poniewaÅ» w rzeczywistoĘci nigdy go
ley (stan Waszyngton), Earlowi A. Paddonowi z Maryland Heights nie odwiedzamy; stając na nim, jesteĘmy odsy"ani do ciupy.
82 ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1996
JOHNNY JOHNSON
JOHNNY JOHNSON
NowoĘç seri i  Na Ęci eÅ»kach nauki 
BRUNO
FIZYKA PODRÓÚY
MIóDZYGWIEZDNYCH
LAWRENCE M. KRAUSS
W´drówka
FIZYKA PODRÓÚY
ANGELA ANGELA
po wszechĘwiecie
MIóDZYGWIEZDNYCH
OGNISKO ELIPSY Star Trek
Lawrence M. Krauss
KRZYWE ELIPTYCZNE wyznaczajÄ…
pokój z obszarami, z których Angela nie
Flotylle statków kosmicznych od
moÅ»e widzieç Ęwiat"a Brunona.
dawna przemierzajÄ… kosmos na
kartach ksiąŻek fantastycznonau-
to mogÄ… istnieç obszary nie oĘwietlone.
kowych i w filmach science fiction.
Na przyk"ad przypomnijmy sobie, Że
elipsa ma dwa specjalne punkty  ogni-
Czy istnieje jednak szansa, by przy-
ska. MoÅ»na udowodniç, Å»e dowolny pro-
sz"e pokolenia Ziemian spenetro-
mieł
Ęwietlny, który przebiega pomi´-
wa"y chociaÅ»by naszÄ… Galaktyk´,
dzy tymi dwoma ogniskami i odbija si´
jeĘli nie najodleglejsze krał
ce
od krzywej, ponownie przetnie odcinek
wszechĘwiata? Wspó"czesna fizy-
"Ä…czÄ…cy ogniska, zanim nast´pnym razem
ka coraz Ęmielej zaczyna wypo-
trafi w krzywÄ…. MajÄ…c to na uwadze, moÅ»-
wiadaç si´ na ten temat, zg"´biajÄ…c
na "atwo sprawdziç, Å»e pokój sk"adajÄ…cy
si´ z dwóch po"ówek elipsy [ilustracja po-
w"asnoĘci czasoprzestrzeni i mate-
wyŻej] ma nie oĘwietlone obszary. Do-
rii, opisywane przez teori´ grawi-
k"adnie mówiąc, promienie wychodzące
tacji Alberta Einsteina i mechanik´
z obszaru niebieskiego (Bruno) nigdy nie
kwantowÄ…. O wynikach tych do-
wejdą w obszar róŻowy (Angela).
ciekał
pisze w swej najnowszej
Istnieje wiele podobnych problemów;
ksiÄ…Å»ce Fizyka podróŻy mi´dzy-
niektóre z nich zosta"y rozwiązane, inne
gwiezdnych amerykał
ski fizyk teo-
nie. MoÅ»na je znaleÄ™ç m.in. w ksiÄ…Å»ce
Unsolved Problems in Geometry napisa- retyk, Lawrence M. Krauss, wpro-
nej przez Hallarda T. Crofta, Kennetha
wadzajÄ…c nas w Ęwiat nap´dów
J. Falconera oraz Richarda K. Guya
czasoprzestrzennych, silników na
(Springer Verlag, 1991), a takŻe w Old
materi´ i antymateri´, transporte-
and New Unsolved Problems in Plane Geo-
rów, deflektorów, holodeków; opo-
metry and Number Theory autorstwa Vic-
wiadajÄ…c o tunelach czasoprze-
tora Klee i Stana Wagona (Mathematical
strzennych, wyŻszych wymiarach,
Association of America, 1991). Jeffrey B.
Rauch z University of Michigan udowod- czarnych dziurach i ca"ej egzotycz-
ni" na przyk"ad, Że istnieje zakrzywiony
nej menaŻerii wspó"czesnej fizyki.
pokój o g"adkim brzegu wsz´dzie z wy-
jątkiem jednego punktu, który wymaga
 Byç moÅ»e nie potrafimy dotrzeç
nieskoł
czonej liczby zapa"ek do pe"ne-
tam, gdzie nie stan´"a dotÄ…d ludz-
go oĘwietlenia.
ka stopa, ale moÅ»emy spróbowaç
Rauch wykaza" takŻe, Że dla kaŻdej
dokonaç tego przynajmniej w wy-
skoł
czonej liczby zapa"ek istnieje g"ad-
ko zakrzywiony pokój, którego nie da si´ obraÄ™ni.
oĘwietliç przez t´ liczb´ zapa"ek. Ponad-
STEPHEN HAWKING
to Janos Pach z City College of New York
w przedmowie
sformu"owa" eleganckie pytanie: jeĘli za-
do Fizyki podróŻy
palisz zapa"k´ w lesie idealnie odbijajÄ…-
mi´dzygwiezdnych
cych drzew, to czy Ęwiat"o b´dzie widocz-
ne z zewnÄ…trz? Modelami drzew mogÄ…
Prószył
ski i S-ka
byç choçby ko"a, a problem moÅ»na roz-
Od 15 paędziernika
184 str., cena 9,80 z"
waÅ»aç na p"aszczyÄ™nie. Jak dotÄ…d nikt nie
w ksi´garniach!
(9 z" w ksi´garni wysy"kowej).
znalaz" odpowiedzi na to pytanie.
T"umaczyli
Zdzis"aw Pogoda i Robert Wolak
KsiÄ…Å»ki moÅ»na kupiç w ksi´garniach lub zamówiç w sprzedaÅ»y wysy"kowej:
listownie w Klubie KsiÄ…Å»ki Ksi´garni Krajowej,
Przypisy t"umaczy:
skrytka pocztowa 21, 02-600 Warszawa 13;
1
Przez brzeg naleÅ»y rozumieç Ęciany, kraw´dzie
telefonicznie pod numerami: 0-800-244-88 (po"Ä…czenie bezp"atne),
i wierzcho"ki wieloĘcianu lub wielokąta.
oraz (0-22) 43-51-21 i 43-41-61; (+2 z" na koszty wysy"ki).
2
Kraw´dÄ™ naleÅ»y tu rozumieç dos"ownie, jako
wspólny brzeg dwóch Ęcian.
ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1996 83
JOHNNY JOHNSON