REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
od nieciekawej pierwotnej p´tli do bar-
Kocia ko"yska i ryba na talerzu
dziej wyszukanych kszta"tów. Jednym
z pierwszych sukcesów w badaniu
w´z"ów i im podobnych by"a teoria
´z"y, sploty chcia"bym tym razem warkoczy stworzona przez Emila Arti-
i tym po- omówiç. W REKREA- na. Warkoczem nazywamy system
Wdobne spra- CJACH MATEMATY- sznurków (lub krzywych), które po-
wy fascynowa"y ludzi CZNYCH mam zwy- czątkowo biegną równolegle jeden do
od tysiÄ…cleci. Ale do- czaj stawiaç wyzwa- drugiego. MogÄ… one owijaç si´ wokó"
piero w latach dwu- nia, ale tym razem pój- siebie nawzajem, tak jak sploty w"osów.
kocia ko"yska
dziestych naszego wie- d´ jeszcze dalej i za- Artin rozwinÄ…" algebr´ warkoczy, któ-
ku matematycy za- czn´ od zabawy, któ- ra odróŻnia topologicznie nierówno-
cz´li si´ przegryzaç ra ogl´dnie mówiÄ…c, waÅ»ne warkocze. JeĘli dwa warkocze
przez problemy cha- naleÅ»y do pogranicza majÄ… t´ samÄ… formu"´ algebraicznÄ…, to
rakteryzacji w´z"ów, matematyki. To do- sÄ… równowaÅ»ne; jeĘli formu"y sÄ… róŻne,
rozróŻniaç te obiekty brze znana dzieci´- to sÄ… one nierównowaÅ»ne. Pomys"y
i rozumieç, co powo- ca gra zwana kociÄ… Artina do pewnego stopnia zainspiro-
duje, Å»e w´z"y sÄ… za- ko"yskÄ…. wa"y Jonesa.
w´Ä™lone, a sploty sple- Stwierdzi"em, Å»e Pod wieloma wzgl´dami figury ko-
cione. I tak powsta"a dobrze znana , choç ciej ko"yski sÄ… podobne do warkoczy.
topologia, mocne na- wielu ludzi nie zdaje Zamiast dwóch kołców warkocza ma-
Żo"nierskie "óŻko
rz´dzie wspó"czesnej sobie sprawy, jak bo- my zbiór palców, wokó" których sznu-
matematyki. gata jest ta gra. Pe"ny rek jest owini´ty. JednakÅ»e w kociej ko-
W ostatnim dzie- ciÄ…g kociej ko"yski "ysce sÄ… dopuszczalne chwyty stosowa-
si´cioleciu byliĘmy sk"ada si´ z oĘmiu róŻ- ne przez Artina; na przyk"ad moÅ»na
Ęwiadkami gwa"tow- nych figur, ale te sa- owinÄ…ç kilka sznurków wokó" jednego
nego rozwoju teorii me regu"y pozwalają palca. To jeden z powodów, dla których
Ęwiece
w´z"ów. Przede wszy- skonstruowaç z jednej algebra warkoczy nie nadaje si´ do opi-
stkim Vaughan Jones prostej p´tli na sznur- su figur kociej ko"yski. Innym powo-
wymyĘli" to, co dziĘ ku rozpi´tym pomi´- dem byç moÅ»e mniej waÅ»nym, niÅ» si´
nazywa si´ wielomia- dzy palcami dwóch to na pierwszy rzut oka wydaje jest
nem Jonesa formu"´ rÄ…k wiele róŻnych to, Å»e wszystkie figury kociej ko"yski sÄ…
algebraiczną związa- uk"adów. Gra ta ilu- topologicznie równowaŻne ze zwyk"ą
koryto
nÄ… z w´z"em [patrz: struje, jak wielkie bo- nie zaw´Ä™lonÄ… p´tlÄ….
Vaugham F. R. Jones, gactwo geometrycz- Podejrzewam, Å»e moglibyĘmy obejĘç
Knot Theory and Sta- nych w"asnoĘci, ta- tem problem, rozwaŻając nie sznurek,
tistical Mechanics ; kich jak kszta"t czy lecz sposób, w jaki owija si´ on wokó"
Scientific American, li- liczba w´z"ów, po- palców. Jeszcze innÄ… komplikacj´ do-
stopad 1990]. JeĘli dwa mija topologia p´tli. strzegam w standardowej wersji dzie-
diamenty
w´z"y majÄ… róŻne wie- Istnieje potrzeba ci´cej zabawy: druga osoba, si´gajÄ…c do
lomiany Jonesa, to są stworzenia dobrego Ęrodka zaplatanki, wydobywa ją i zmie-
topologicznie róŻne, rachunku dla kociej nia kszta"t figury, przenosząc sznurek
co oznacza, Å»e nie ko"yski algebry, z rÄ…k pierwszej osoby na w"asne r´ce.
moŻna ich przekszta"- która opisze, jak Do zrobienia kociej ko"yski potrzebne
ciç w sposób ciÄ…g"y je- róŻne standardo- sÄ… dwie osoby, kawa"ek g"adkiego,
kocie oko
den na drugi.* Takie we chwyty umoÅ»- mi´kkiego sznurka d"ugoĘci oko"o 1 m,
niezmienniki w´z"ów liwiajÄ… przejĘcie który po zwiÄ…zaniu koÅ‚ców tworzy za-
znano wczeĘniej, ale wie-
lomian Jonesa jest pierw-
szym z nowej generacji OSIEM FIGUR tworzy kompletny ciÄ…g kociej ko"yski.
W grze biorą udzia" dwie osoby, Angela (jaĘniejszy)
superniezmienników, o
i Bill (ciemniejszy), które przenoszą na przemian
wiele skuteczniejszym niÅ»
zap´tlony sznurek ze swoich d"oni. Instrukcje tworzenia
poprzednie.
tych uk"adów są podane w tekĘcie.
Nawet jednak wielomian Jo-
nesa nie moÅ»e wyjaĘniç wszyst-
kiego, co chcielibyĘmy wiedzieç
zegar
o w´z"ach i splotach. Obiekty
ryba
te prowokują do pewnych py- na pó"misku
tał, które wcale nie naleŻą do domeny
topologii i w"aĘnie te zagadnienia
84 ÂWIAT NAUKI Luty 1998
WSZYSTKIE ILUSTRACJE DANA BURNS-PIZER
1
mkni´tÄ… p´tl´. Za"óŻmy, Å»e Angela i Bill od Å»o"nierskiego "óŻka do kocich oczu.
na przemian zdejmujÄ… sobie p´tl´ z rÄ…k. WyczerpujÄ…ce obliczenia dla kociej ko-
Najpierw Angela robi ko"ysk´ [ilustra- "yski powinny obejmowaç wszystkie ta-
cja na sÄ…siedniej stronie]. Podstawowy kie wariacje. Teoria musi opisywaç rze-
ruch w tym ciÄ…gu stosowany prawie czywiste formy sznurkowych figur, a nie
2
przy kaÅ»dym kroku w"aĘnie na poczÄ…t- tylko ich topologi´. Dobrym poczÄ…tkiem
ku pojawia si´ po raz pierwszy. Przyj- by"by zwarty opis po"oÅ»eÅ‚ p´tli
mijmy, Å»e Bill znajduje si´ po prawej wzgl´dem palców oraz podstawowych
stronie Angeli. PatrzÄ…c w dó" na figur´, ruchów, takich jak wzi´cie p´tli z pra-
widzi dwa przeci´cia. Podnosi je w gó- wej r´ki za pomocÄ… Ęrodkowego palca
3
r´, po jednym w kaÅ»dej r´ce i oddala od lewej itp.
siebie. Nast´pnie odciÄ…ga sznurki na bo- Jedna osoba takÅ»e moÅ»e zaprezento-
ki figury ponad zewn´trznymi kraw´- waç interesujÄ…ce zaplatanki. PróbujÄ…c
dziami, kieruje si´ w dó" i od wewnÄ…trz rozwinÄ…ç rachunki dla kociej ko"yski,
z powrotem ku górze poprzez wolnÄ… powinniĘmy zaczÄ…ç od takiego w"aĘnie
4
przestrzeÅ‚ poĘrodku. przypadku. Úeby pokazaç, jak fascynu-
W chwili gdy Bill, odsuwajÄ…c r´ce, od- jÄ…ce sÄ… te moÅ»liwoĘci, opisz´ figur´ zwa-
stawia kciuk od palca wskazującego, ną indiałskimi diamentami. Zaczyna-
Angela zsuwa p´tle ze swoich palców. my w sposób bardzo podobny do
Teraz na r´kach Billa mamy nowÄ… figu- tworzenia kociej ko"yski, ale nie ca"kiem
r´ zwanÄ… Å»o"nierskim "óŻkiem. JeĘli An- taki sam [ilustracja z lewej]. Startujemy
5
gela powtórzy dok"adnie ruchy swego od prostej p´tli (1), nast´pnie prawym
towarzysza, zaczynajÄ…c od drugiej figu- palcem wskazujÄ…cym (2) podnosimy
ry, to otrzyma ona trzeci kszta"t, zwany sznurek przebiegający przez lewą d"oł
Ęwiecami. i powtarzamy t´ operacj´ z prawÄ… d"o-
PrzejĘcie od Ęwiec do czwartej figury niÄ… (3). Póęniej zsuwamy p´tl´ z kciu-
6
wymaga innego dzia"ania. Najpierw Bill ków, "ącząc je ze sobą i delikatnie, ale
ma"ymi palcami odsuwa na bok jeden, zdecydowanie odsuwamy od siebie d"o-
a nast´pnie drugi wewn´trzny sznurek nie. Przekr´camy r´ce tak, by wn´trza
(po przeciwnych stronach), po czym d"oni skierowane by"y na zewnÄ…trz.
umieszcza kciuk i palec wskazujÄ…cy Przesuwamy kciuki do przodu pod
w Ęrodku figury od do"u ruchem po- wszystkimi sznurkami, zaczepiamy je
7
dobnym do podstawowego, ale nie na sznurku ma"ych palców, odwraca-
chwyta Å»adnych skrzyÅ»owanych sznur- my r´ce z powrotem, przybliÅ»ajÄ…c sznu-
ków. W kołcu Bill prostuje kciuk i palec rek ma"ych palców ku sobie (4). Ten
wskazujÄ…cy oraz, zaginajÄ…c ma"e palce, ruch jest bardziej naturalny niÅ» si´ wy-
zamocowuje wokó" nich p´tle. Wyni- daje, i jeĘli go wypróbujesz, to stwier-
8
kiem jest tzw. koryto. Teraz ma"a uwa- dzisz, Że sznurek wybra"eĘ w sposób
ga matematyczna: koryto to kocia ko"y- oczywisty .
ska odwrócona do góry nogami . Nast´pnie przeprowadzamy kciuki
JeĘli poczynajÄ…c od koryta, ponownie ponad sznurkiem b´dÄ…cym bezpo-
powtórzymy podstawowy ruch, tyle Że Ęrednio przed nimi, a dalej pod ko-
do góry nogami (chwytając skrzyŻowa- lejnymi sznurkami, tak by je pod- 9
nia od do"u, a nie od góry), to otrzyma- nieĘç grzbietem kciuków (5) w ten
my odwrócone Å»o"nierskie "óŻko. Tra- sposób powstaje nast´pny kszta"t (6).
dycyjnie ten piÄ…ty kszta"t nazywamy Dalej, zginajÄ…c i lekko rozstawiajÄ…c
diamentami. Jeszcze jedno powtórzenie d"onie, zsuwamy p´tle z ma"ych pal-
postawowego ruchu, teraz w normal- ców. Otrzymujemy coĘ mocno poplą-
10
nym uk"adzie od góry, daje kocie oko. tanego, ale od tego momentu zaplatan-
PodnoszÄ…c troch´ inaczej i odciÄ…gajÄ…c ka robi si´ juÅ» coraz prostsza. Zagi-
a
r´ce do ty"u bez nawrotu w dó" do Ęrod- namy ma"e palce do siebie, odwracajÄ…c
ka, otrzymujemy ryb´ na pó"misku. d"onie, jeĘli mamy ochot´, zaginamy
Ostateczny kszta"t troch´ trudniej palce nad pierwszym sznurkiem, któ-
11
osiÄ…gnÄ…ç. Ma"ymi palcami Bill odciÄ…ga ry napotykamy (z p´tli na palcach
od siebie Ęrodkowe sznurki, a nast´p- wskazujÄ…cych) i poniÅ»ej nast´pnego
nie podnosi przeci´cia jak zwykle. Te-
raz kieruje kciuki i palce wskazujÄ…ce do
wewnÄ…trz od góry, tak by otrzymaç
INDIAÄ„SKIE DIAMENTY powstajÄ… b
ósmy kszta"t zwany zegarem. Nie mam
z ciÄ…gu p´tli, który moÅ»e tworzyç jedna
12
zielonego poj´cia, dlaczego ta zaplatan- osoba. Zatem rachunek dla tej gry
powinien byç "atwiejszy do opracowania
ka nosi takÄ… w"aĘnie nazw´. Byç moÅ»e
niŻ dla kociej ko"yski. Kó"eczka
wie to któryĘ z czytelników?
przedstawiają palce, wokó" których
JeĘli b´dziemy wykonywaç inne
jest zap´tlony sznurek. WyczerpujÄ…co
c
chwyty, to moÅ»emy zmieniç porzÄ…dek
skomplikowany ciąg ruchów
ciÄ…gu na przyk"ad przechodzÄ…c bez-
(szczegó"y w tekĘcie) prowadzi 13
poĘrednio od ko"yski do Ęwiec czy teŻ do zadziwiająco prostego uk"adu.
SPRZóÚENIE ZWROTNE
ó" roku temu [Âwiat Nauki, lipiec nego nowego rodzaju regularnoĘci
Uwaga,
P1997] szukaliĘmy liczb pierwszych. w zbiorze liczb pierwszych. Puktem wyj-
W listach, które otrzyma"em po publika- Ęcia jest tzw. parytet liczby pierwszej.
cji tego artyku"u, znalaz"em pomys", któ- WeÄ™my na przyk"ad liczb´ 23, jej zapis
wybitni!
ry chcia"bym PaÅ‚stwu przedstawiç. Po- binarny to 10111. SÄ… cztery jedynki;
chodzi on z Visions of the Future pod sprawdęmy, czy ta liczba jest parzysta,
redakcjÄ… Clifforda A. Pickovera [Scien- czy teÅ» nie. W tym przypadku liczba jest
W ubieg"ym roku z okazji
ce Reviews, Northwood, England, 1992], oczywiĘcie parzysta, tak wi´c 23 ma pa-
Âwi´ta Niepodleg"oĘci po raz
a dok"adniej z artyku"u pracujących rzysty parytet. Weęmy ciąg liczb pierw-
pierwszy zosta"y przyznane
w Netherlands Cancer Institute w Am- szych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... i roz-
stypendia z Funduszu Pomo- sterdamie Melsa Sluysera i Erika L. L. bijmy go na pary [2, 3], [5, 7], [11, 13],
Sonnhammera [ Molecular Biology and [17, 19] itd. Znajdęmy odpowiadający
cy M"odym Talentom Jolanty
Futuristic Problem Solving , ss. 151-157]. im parytet (b´d´ uÅ»ywa" P dla parzyste-
i Aleksandra KwaĘniewskich.
Sluyser i Sonnhammer zastosowali go i N dla nieparzystego), tworzÄ…c no-
WyróŻniono 11 osób. Stypen-
program uŻywany do badania DNA wy ciąg [N, P], [P, N], [N, N], [P, N]...
dia pomoc pieni´Å»na, rzeczo-
i RNA do ciągów liczb pierwszych. Cią- Oznaczmy [N, N] = A, [P, P] = U, [N, P]
wa, organizacyjna i meryto-
gi RNA majÄ… cztery zasady A, U, C, = C oraz [P, N] = G dla ca"ego ciÄ…gu
ryczna sÄ… przeznaczone dla
G które "Ä…czÄ… si´ w pary, tworzÄ…c s"yn- (wybór ten jest dowolny) . Pierwsze dwa-
wybitnie uzdolnionych dzieci, nÄ… podwójnÄ… helis´. CiÄ…gi o biologicz- dzieĘcia par daje CGAGUACCACAUCA
nym znaczeniu powinny wykazywaç CACGCA. UÅ»yjmy teraz stadardowe-
które z róŻnych przyczyn,
pewnÄ… nieprzypadkowoĘç, poniewaÅ» go programu do obliczenia z"oÅ»onej
przede wszystkim finanso-
rozmieszczenie przestrzenne par zasad konfiguracji takiego ciÄ…gu RNA. Otrzy-
wych, nie mogÄ… kontynuowaç
w RNA moÅ»e powodowaç uk"adanie si´ mujemy wolnÄ… energi´ 256.9 kcal/mol,
nauki lub rozwijaç swoich ta-
w pewne bardziej sta"e konfiguracje. Ma- podczas gdy przypadkowe ciÄ…gi po-
lentów i zainteresował.
ją one mniej wolnej energii niŻ przy- dobnej d"ugoĘci posiadają Ęrednio wol-
padkowe nie u"oÅ»one ciÄ…gi. nÄ… energi´ 243.6, czyli znacznie wi´k-
M"ody cz"owiek, ubiegajÄ…c
Artyku" pokazuje, Å»e ciÄ…gi liczb pierw- szÄ…. Tak wi´c techniki struktury RNA
si´ o stypendium, powinien
szych mogÄ… daç waÅ»ne wyniki, gdy b´- sugerujÄ…, Å»e istniejÄ… pewne specjalne,
wype"niç kwestionariusz zg"o-
dziemy je interpretowaç jako ciÄ…gi RNA. wyróŻnione uk"ady w ciÄ…gach liczb
szenia, a takÅ»e zebraç moÅ»li-
Skutek uboczny to pojawienie si´ pew- pierwszych.
wie duŻo opinii dyrektora
szko"y, nauczycieli potwier-
dzajÄ…cych jego uzdolnienia
i ciekawe pasje; mogÄ… to byç
sznurka (z p´tli na kciukach). Nast´pnie dy w"oÅ»yç palce wskazujÄ…ce do dziur
równieŻ dyplomy za udzia" w
wyprostowujemy ma"e palce (8). oznaczonych literkÄ… c na rysunku (12)
olimpiadach czy konkursach.
Na tym etapie mamy dwie p´tle na i wyprostowaç. Teraz musimy ostroÅ»-
Wnioski stypendialne rozpa-
kaÅ»dym kciuku i uwalniamy je tak jak nie zsunÄ…ç sznurek z ma"ych palców
truje Rada Funduszu.
poprzednio. Po tej operacji sznurek wy- i odwróciç d"onie, kierujÄ…c ich wn´trza
glÄ…da duÅ»o proĘciej (9), tylko w´ze" na zewnÄ…trz i jednoczeĘnie naciÄ…gajÄ…c
Kwestionariusze i informa-
w Ęrodku jest poplątany, ale to bez zna- sznurek. Po pewnej liczbie prób powin-
cje moÅ»na uzyskaç w kura-
czenia. PoprowadÄ™my kciuk nad dwo- niĘmy otrzymaç indiaÅ‚skie diamenty
toriach oĘwiaty. W sprawie
ma sznurkami tworzÄ…cymi p´tl´ na pal- w ca"ej okaza"oĘci (13).
stypendium moŻna teŻ zg"a-
cu wskazujÄ…cym, a nast´pnie pod naj- Te dwa przyk"ady dajÄ… zaledwie
szaç si´ do Fundacji J. Kwa-
bliÅ»szym sznurkiem p´tli ma"ego palca przedsmak figur sznurkowych. JeĘli
Ęniewskiej Porozumienie
i z powrotem do miejsca, gdzie zacz´li- chcecie dowiedzieç si´ wi´cej, to zaj-
bez barier pod adresem:
Ęmy. Byç moÅ»e w tym momencie trze- rzyjcie do ksiÄ…Å»ki Caroline F. Jayne
00-071 Warszawa, ul. Kra-
ba b´dzie troch´ przekr´ciç r´ce (10). String Figures and How to Make Them
kowskie PrzedmieĘcie 48/50
Nast´pny krok jest niezwyk"y. Pal- (Dover Publications, 1975). Dobrze jest
lub do Biura Spraw Spo"ecz- cami prawej r´ki uchwyçmy sznu- zdaç sobie spraw´ z faktu, Å»e mimo
rek w punkcie a i przenieĘmy go na le- wszystkich zadziwiających moŻliwo-
nych Kancelarii Prezydenta
wy kciuk o u"amek centymetra dalej. Ęci dzisiejsza topologia nie radzi sobie
Rzeczypospolitej Polskiej tu-
Powtórzmy t´ samÄ… operacj´ z drugÄ… z tÄ… starÄ… dzieci´cÄ… zabawÄ…. JednakÅ»e
taj teÅ» naleÅ»y przes"aç do-
r´kÄ…. UwaÅ»ajmy, by umieĘciç sznu- mam przeczucie, Å»e topolodzy podejmÄ…
kumenty. Adres Kancelarii
rek powyÅ»ej tego, który krzyÅ»uje si´ wyzwanie. TakÅ»e czytelnicy mogÄ… wy-
Prezydenta: 00-902 Warsza-
z nim i idzie od ma"ego palca. JeĘli zro- myĘliç rachunek kociej ko"yski lub teÅ»
wa, ul. Wiejska 10.
bimy to poprawnie, otrzymamy nowy dobrze si´ bawiç, çwiczÄ…c swoje ma-
wzór (11) i znów szczegó"y zap´tlone- tematyczne mi´Ä˜nie w tworzeniu ele-
Nie ma okreĘlonego terminu
go Ęrodka sÄ… nieistotne. ganckich figur z prostej p´tli sznurka.
sk"adania wniosków o stypen-
Prawie koniec. Ostatni krok "atwiej
dia. ZaleŻnie od Ęrodków fi- T"umaczyli
wykonaç niÅ» opisaç. Obróçmy kciuki Zdzis"aw Pogoda i Robert Wolak
nansowych, pomoc moÅ»e byç
tak, by by"y zwrócone ku sobie, prze-
przyznawana cz´Ä˜ciej niÅ» raz
prowadęmy je przez dziury oznaczone
w roku. (M) * To znaczy, Å»e nie da si´ tak wyginaç, rozciÄ…gaç
literkÄ… b, a nast´pnie wyprowadÄ™my je
lub ĘcisnÄ…ç jednego w´z"a (bez rozrywania i skleja-
w gór´ po stronie bliÅ»szej. NaleÅ»y wte- nia), by otrzymaç drugi (przyp. t"um.).
86 ÂWIAT NAUKI Luty 1998