REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
od nieciekawej pierwotnej p�tli do bar-
Kocia ko"yska i ryba na talerzu
dziej wyszukanych kszta"tów. Jednym
z pierwszych sukcesów w badaniu
w�z"ów i im podobnych by"a teoria
�z"y, sploty chcia"bym tym razem warkoczy stworzona przez Emila Arti-
i tym po- omówi�. W REKREA- na. Warkoczem nazywamy system
Wdobne spra- CJACH MATEMATY- sznurków (lub krzywych), które po-
wy fascynowa"y ludzi CZNYCH mam zwy- czątkowo biegną równolegle jeden do
od tysiącleci. Ale do- czaj stawia� wyzwa- drugiego. Mogą one owija� si� wokó"
piero w latach dwu- nia, ale tym razem pój- siebie nawzajem, tak jak sploty w"osów.
kocia ko"yska
dziestych naszego wie- d� jeszcze dalej i za- Artin rozwiną" algebr� warkoczy, któ-
ku matematycy za- czn� od zabawy, któ- ra odróŻnia topologicznie nierówno-
cz�li si� przegryza� ra ogl�dnie mówiąc, waŻne warkocze. JeĘli dwa warkocze
przez problemy cha- naleŻy do pogranicza mają t� samą formu"� algebraiczną, to
rakteryzacji w�z"ów, matematyki. To do- są równowaŻne; jeĘli formu"y są róŻne,
rozróŻnia� te obiekty brze znana dzieci�- to są one nierównowaŻne. Pomys"y
i rozumie�, co powo- ca gra zwana kocią Artina do pewnego stopnia zainspiro-
duje, Że w�z"y są za- ko"yską. wa"y Jonesa.
w�ęlone, a sploty sple- Stwierdzi"em, Że Pod wieloma wzgl�dami figury ko-
cione. I tak powsta"a  dobrze znana , cho� ciej ko"yski są podobne do warkoczy.
topologia, mocne na- wielu ludzi nie zdaje Zamiast dwóch koł
ców warkocza ma-
Żo"nierskie "óŻko
rz�dzie wspó"czesnej sobie sprawy, jak bo- my zbiór palców, wokó" których sznu-
matematyki. gata jest ta gra. Pe"ny rek jest owini�ty. JednakŻe w kociej ko-
W ostatnim dzie- ciąg kociej ko"yski "ysce są dopuszczalne chwyty stosowa-
si�cioleciu byliĘmy sk"ada si� z oĘmiu róŻ- ne przez Artina; na przyk"ad moŻna
Ęwiadkami gwa"tow- nych figur, ale te sa- owiną� kilka sznurków wokó" jednego
nego rozwoju teorii me regu"y pozwalają palca. To jeden z powodów, dla których
Ęwiece
w�z"ów. Przede wszy- skonstruowa� z jednej algebra warkoczy nie nadaje si� do opi-
stkim Vaughan Jones prostej p�tli na sznur- su figur kociej ko"yski. Innym powo-
wymyĘli" to, co dziĘ ku rozpi�tym pomi�- dem  by� moŻe mniej waŻnym, niŻ si�
nazywa si� wielomia- dzy palcami dwóch to na pierwszy rzut oka wydaje  jest
nem Jonesa  formu"� rąk wiele róŻnych to, Że wszystkie figury kociej ko"yski są
algebraiczną związa- uk"adów. Gra ta ilu- topologicznie równowaŻne ze zwyk"ą
koryto
ną z w�z"em [patrz: struje, jak wielkie bo- nie zaw�ęloną p�tlą.
Vaugham F. R. Jones, gactwo geometrycz- Podejrzewam, Że moglibyĘmy obejĘ�
 Knot Theory and Sta- nych w"asnoĘci, ta- tem problem, rozwaŻając nie sznurek,
tistical Mechanics ; kich jak kszta"t czy lecz sposób, w jaki owija si� on wokó"
Scientific American, li- liczba w�z"ów, po- palców. Jeszcze inną komplikacj� do-
stopad 1990]. JeĘli dwa mija topologia p�tli. strzegam w standardowej wersji dzie-
diamenty
w�z"y mają róŻne wie- Istnieje potrzeba ci�cej zabawy: druga osoba, si�gając do
lomiany Jonesa, to są stworzenia dobrego Ęrodka zaplatanki, wydobywa ją i zmie-
topologicznie róŻne, rachunku dla kociej nia kszta"t figury, przenosząc sznurek
co oznacza, Że nie ko"yski  algebry, z rąk pierwszej osoby na w"asne r�ce.
moŻna ich przekszta"- która opisze, jak Do zrobienia kociej ko"yski potrzebne
ci� w sposób ciąg"y je- róŻne standardo- są dwie osoby, kawa"ek g"adkiego,
kocie oko
den na drugi.* Takie we chwyty umoŻ- mi�kkiego sznurka d"ugoĘci oko"o 1 m,
 niezmienniki w�z"ów liwiają przejĘcie który po związaniu koł
ców tworzy za-
znano wczeĘniej, ale wie-
lomian Jonesa jest pierw-
szym z nowej generacji OSIEM FIGUR tworzy kompletny ciąg kociej ko"yski.
W grze biorą udzia" dwie osoby, Angela (jaĘniejszy)
superniezmienników, o
i Bill (ciemniejszy), które przenoszą na przemian
wiele skuteczniejszym niŻ
zap�tlony sznurek ze swoich d"oni. Instrukcje tworzenia
poprzednie.
tych uk"adów są podane w tekĘcie.
Nawet jednak wielomian Jo-
nesa nie moŻe wyjaĘni� wszyst-
kiego, co chcielibyĘmy wiedzie�
zegar
o w�z"ach i splotach. Obiekty
ryba
te prowokują do pewnych py- na pó"misku
tał
, które wcale nie naleŻą do domeny
topologii  i w"aĘnie te zagadnienia
84 �WIAT NAUKI Luty 1998
WSZYSTKIE ILUSTRACJE DANA BURNS-PIZER
1
mkni�tą p�tl�. Za"óŻmy, Że Angela i Bill od Żo"nierskiego "óŻka do kocich oczu.
na przemian zdejmują sobie p�tl� z rąk. Wyczerpujące obliczenia dla kociej ko-
Najpierw Angela robi ko"ysk� [ilustra- "yski powinny obejmowa� wszystkie ta-
cja na sąsiedniej stronie]. Podstawowy kie wariacje. Teoria musi opisywa� rze-
ruch w tym ciągu stosowany prawie czywiste formy sznurkowych figur, a nie
2
przy kaŻdym kroku w"aĘnie na począt- tylko ich topologi�. Dobrym początkiem
ku pojawia si� po raz pierwszy. Przyj- by"by zwarty opis  po"oŻeł
 p�tli
mijmy, Że Bill znajduje si� po prawej wzgl�dem palców oraz podstawowych
stronie Angeli. Patrząc w dó" na figur�, ruchów, takich jak  wzi�cie p�tli z pra-
widzi dwa przeci�cia. Podnosi je w gó- wej r�ki za pomocą Ęrodkowego palca
3
r�, po jednym w kaŻdej r�ce i oddala od lewej itp.
siebie. Nast�pnie odciąga sznurki na bo- Jedna osoba takŻe moŻe zaprezento-
ki figury ponad zewn�trznymi kraw�- wa� interesujące zaplatanki. Próbując
dziami, kieruje si� w dó" i od wewnątrz rozwiną� rachunki dla kociej ko"yski,
z powrotem ku górze poprzez wolną powinniĘmy zaczą� od takiego w"aĘnie
4
przestrzeł
poĘrodku. przypadku. �eby pokaza�, jak fascynu-
W chwili gdy Bill, odsuwając r�ce, od- jące są te moŻliwoĘci, opisz� figur� zwa-
stawia kciuk od palca wskazującego, ną indiał
skimi diamentami. Zaczyna-
Angela zsuwa p�tle ze swoich palców. my w sposób bardzo podobny do
Teraz na r�kach Billa mamy nową figu- tworzenia kociej ko"yski, ale nie ca"kiem
r� zwaną Żo"nierskim "óŻkiem. JeĘli An- taki sam [ilustracja z lewej]. Startujemy
5
gela powtórzy dok"adnie ruchy swego od prostej p�tli (1), nast�pnie prawym
towarzysza, zaczynając od drugiej figu- palcem wskazującym (2) podnosimy
ry, to otrzyma ona trzeci kszta"t, zwany sznurek przebiegający przez lewą d"oł

Ęwiecami. i powtarzamy t� operacj� z prawą d"o-
PrzejĘcie od Ęwiec do czwartej figury nią (3). Póęniej zsuwamy p�tl� z kciu-
6
wymaga innego dzia"ania. Najpierw Bill ków, "ącząc je ze sobą i delikatnie, ale
ma"ymi palcami odsuwa na bok jeden, zdecydowanie odsuwamy od siebie d"o-
a nast�pnie drugi wewn�trzny sznurek nie. Przekr�camy r�ce tak, by wn�trza
(po przeciwnych stronach), po czym d"oni skierowane by"y na zewnątrz.
umieszcza kciuk i palec wskazujący Przesuwamy kciuki do przodu pod
w Ęrodku figury od do"u ruchem po- wszystkimi sznurkami, zaczepiamy je
7
dobnym do podstawowego, ale nie na sznurku ma"ych palców, odwraca-
chwyta Żadnych skrzyŻowanych sznur- my r�ce z powrotem, przybliŻając sznu-
ków. W koł
cu Bill prostuje kciuk i palec rek ma"ych palców ku sobie (4). Ten
wskazujący oraz, zaginając ma"e palce, ruch jest bardziej naturalny niŻ si� wy-
zamocowuje wokó" nich p�tle. Wyni- daje, i jeĘli go wypróbujesz, to stwier-
8
kiem jest tzw. koryto. Teraz ma"a uwa- dzisz, Że sznurek wybra"eĘ w sposób
ga matematyczna: koryto to kocia ko"y-  oczywisty .
ska odwrócona  do góry nogami . Nast�pnie przeprowadzamy kciuki
JeĘli poczynając od koryta, ponownie ponad sznurkiem b�dącym bezpo-
powtórzymy podstawowy ruch, tyle Że Ęrednio przed nimi, a dalej pod ko-
do góry nogami (chwytając skrzyŻowa- lejnymi sznurkami, tak by je pod- 9
nia od do"u, a nie od góry), to otrzyma- nieĘ� grzbietem kciuków (5)  w ten
my odwrócone Żo"nierskie "óŻko. Tra- sposób powstaje nast�pny kszta"t (6).
dycyjnie ten piąty kszta"t nazywamy Dalej, zginając i lekko rozstawiając
diamentami. Jeszcze jedno powtórzenie d"onie, zsuwamy p�tle z ma"ych pal-
postawowego ruchu, teraz w normal- ców. Otrzymujemy coĘ mocno poplą-
10
nym uk"adzie od góry, daje kocie oko. tanego, ale od tego momentu zaplatan-
Podnosząc troch� inaczej i odciągając ka robi si� juŻ coraz prostsza. Zagi-
a
r�ce do ty"u bez nawrotu w dó" do Ęrod- namy ma"e palce do siebie, odwracając
ka, otrzymujemy ryb� na pó"misku. d"onie, jeĘli mamy ochot�, zaginamy
Ostateczny kszta"t troch� trudniej palce nad pierwszym sznurkiem, któ-
11
osiągną�. Ma"ymi palcami Bill odciąga ry napotykamy (z p�tli na palcach
od siebie Ęrodkowe sznurki, a nast�p- wskazujących) i poniŻej nast�pnego
nie podnosi przeci�cia jak zwykle. Te-
raz kieruje kciuki i palce wskazujące do
wewnątrz od góry, tak by otrzyma�
INDIAĄSKIE DIAMENTY powstają b
ósmy kszta"t zwany zegarem. Nie mam
z ciągu p�tli, który moŻe tworzy� jedna
12
zielonego poj�cia, dlaczego ta zaplatan- osoba. Zatem rachunek dla tej gry
powinien by� "atwiejszy do opracowania
ka nosi taką w"aĘnie nazw�. By� moŻe
niŻ dla kociej ko"yski. Kó"eczka
wie to któryĘ z czytelników?
przedstawiają palce, wokó" których
JeĘli b�dziemy wykonywa� inne
jest zap�tlony sznurek. Wyczerpująco
c
chwyty, to moŻemy zmieni� porządek
skomplikowany ciąg ruchów
ciągu  na przyk"ad przechodząc bez-
(szczegó"y w tekĘcie) prowadzi 13
poĘrednio od ko"yski do Ęwiec czy teŻ do zadziwiająco prostego uk"adu.
SPRZó�ENIE ZWROTNE
ó" roku temu [�wiat Nauki, lipiec nego nowego rodzaju regularnoĘci
Uwaga,
P1997] szukaliĘmy liczb pierwszych. w zbiorze liczb pierwszych. Puktem wyj-
W listach, które otrzyma"em po publika- Ęcia jest tzw. parytet liczby pierwszej.
cji tego artyku"u, znalaz"em pomys", któ- Weęmy na przyk"ad liczb� 23, jej zapis
wybitni!
ry chcia"bym Pał
stwu przedstawi�. Po- binarny to 10111. Są cztery jedynki;
chodzi on z Visions of the Future pod sprawdęmy, czy ta liczba jest parzysta,
redakcją Clifforda A. Pickovera [Scien- czy teŻ nie. W tym przypadku liczba jest
W ubieg"ym roku z okazji
ce Reviews, Northwood, England, 1992], oczywiĘcie parzysta, tak wi�c 23 ma  pa-
�wi�ta Niepodleg"oĘci po raz
a dok"adniej z artyku"u pracujących rzysty parytet. Weęmy ciąg liczb pierw-
pierwszy zosta"y przyznane
w Netherlands Cancer Institute w Am- szych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... i roz-
stypendia z Funduszu Pomo- sterdamie Melsa Sluysera i Erika L. L. bijmy go na pary [2, 3], [5, 7], [11, 13],
Sonnhammera [ Molecular Biology and [17, 19] itd. Znajdęmy odpowiadający
cy M"odym Talentom Jolanty
Futuristic Problem Solving , ss. 151-157]. im parytet (b�d� uŻywa"  P dla parzyste-
i Aleksandra KwaĘniewskich.
Sluyser i Sonnhammer zastosowali go i  N dla nieparzystego), tworząc no-
WyróŻniono 11 osób. Stypen-
program uŻywany do badania DNA wy ciąg [N, P], [P, N], [N, N], [P, N]...
dia  pomoc pieni�Żna, rzeczo-
i RNA do ciągów liczb pierwszych. Cią- Oznaczmy [N, N] = A, [P, P] = U, [N, P]
wa, organizacyjna i meryto-
gi RNA mają cztery zasady  A, U, C, = C oraz [P, N] = G dla ca"ego ciągu
ryczna  są przeznaczone dla
G  które "ączą si� w pary, tworząc s"yn- (wybór ten jest dowolny) . Pierwsze dwa-
wybitnie uzdolnionych dzieci, ną podwójną helis�. Ciągi o biologicz- dzieĘcia par daje CGAGUACCACAUCA
nym znaczeniu powinny wykazywa� CACGCA. UŻyjmy teraz stadardowe-
które z róŻnych przyczyn,
pewną nieprzypadkowoĘ�, poniewaŻ go programu do obliczenia z"oŻonej
przede wszystkim finanso-
rozmieszczenie przestrzenne par zasad konfiguracji takiego ciągu RNA. Otrzy-
wych, nie mogą kontynuowa�
w RNA moŻe powodowa� uk"adanie si� mujemy wolną energi�  256.9 kcal/mol,
nauki lub rozwija� swoich ta-
w pewne bardziej sta"e konfiguracje. Ma- podczas gdy przypadkowe ciągi po-
lentów i zainteresował
.
ją one mniej  wolnej energii niŻ przy- dobnej d"ugoĘci posiadają Ęrednio wol-
padkowe nie u"oŻone ciągi. ną energi�  243.6, czyli znacznie wi�k-
M"ody cz"owiek, ubiegając
Artyku" pokazuje, Że ciągi liczb pierw- szą. Tak wi�c techniki struktury RNA
si� o stypendium, powinien
szych mogą da� waŻne wyniki, gdy b�- sugerują, Że istnieją pewne specjalne,
wype"ni� kwestionariusz zg"o-
dziemy je interpretowa� jako ciągi RNA. wyróŻnione uk"ady w ciągach liczb
szenia, a takŻe zebra� moŻli-
Skutek uboczny to pojawienie si� pew- pierwszych.
wie duŻo opinii  dyrektora
szko"y, nauczycieli  potwier-
dzających jego uzdolnienia
i ciekawe pasje; mogą to by�
sznurka (z p�tli na kciukach). Nast�pnie dy w"oŻy� palce wskazujące do dziur
równieŻ dyplomy za udzia" w
wyprostowujemy ma"e palce (8). oznaczonych literką c na rysunku (12)
olimpiadach czy konkursach.
Na tym etapie mamy dwie p�tle na i wyprostowa�. Teraz musimy ostroŻ-
Wnioski stypendialne rozpa-
kaŻdym kciuku i uwalniamy je tak jak nie zsuną� sznurek z ma"ych palców
truje Rada Funduszu.
poprzednio. Po tej operacji sznurek wy- i odwróci� d"onie, kierując ich wn�trza
gląda duŻo proĘciej (9), tylko w�ze" na zewnątrz i jednoczeĘnie naciągając
Kwestionariusze i informa-
w Ęrodku jest poplątany, ale to bez zna- sznurek. Po pewnej liczbie prób powin-
cje moŻna uzyska� w kura-
czenia. Poprowadęmy kciuk nad dwo- niĘmy otrzyma� indiał
skie diamenty
toriach oĘwiaty. W sprawie
ma sznurkami tworzącymi p�tl� na pal- w ca"ej okaza"oĘci (13).
stypendium moŻna teŻ zg"a-
cu wskazującym, a nast�pnie pod naj- Te dwa przyk"ady dają zaledwie
sza� si� do Fundacji J. Kwa-
bliŻszym sznurkiem p�tli ma"ego palca przedsmak figur sznurkowych. JeĘli
Ęniewskiej  Porozumienie
i z powrotem do miejsca, gdzie zacz�li- chcecie dowiedzie� si� wi�cej, to zaj-
bez barier pod adresem:
Ęmy. By� moŻe w tym momencie trze- rzyjcie do ksiąŻki Caroline F. Jayne
00-071 Warszawa, ul. Kra-
ba b�dzie troch� przekr�ci� r�ce (10). String Figures and How to Make Them
kowskie PrzedmieĘcie 48/50
Nast�pny krok jest niezwyk"y. Pal- (Dover Publications, 1975). Dobrze jest
lub do Biura Spraw Spo"ecz- cami prawej r�ki uchwy�my sznu- zda� sobie spraw� z faktu, Że mimo
rek w punkcie a i przenieĘmy go na le- wszystkich zadziwiających moŻliwo-
nych Kancelarii Prezydenta
wy kciuk o u"amek centymetra dalej. Ęci dzisiejsza topologia nie radzi sobie
Rzeczypospolitej Polskiej  tu-
Powtórzmy t� samą operacj� z drugą z tą starą dzieci�cą zabawą. JednakŻe
taj teŻ naleŻy przes"a� do-
r�ką. UwaŻajmy, by umieĘci� sznu- mam przeczucie, Że topolodzy podejmą
kumenty. Adres Kancelarii
rek powyŻej tego, który krzyŻuje si� wyzwanie. TakŻe czytelnicy mogą wy-
Prezydenta: 00-902 Warsza-
z nim i idzie od ma"ego palca. JeĘli zro- myĘli� rachunek kociej ko"yski lub teŻ
wa, ul. Wiejska 10.
bimy to poprawnie, otrzymamy nowy dobrze si� bawi�, �wicząc swoje  ma-
wzór (11)  i znów szczegó"y zap�tlone- tematyczne mi�Ęnie w tworzeniu ele-
Nie ma okreĘlonego terminu
go Ęrodka są nieistotne. ganckich figur z prostej p�tli sznurka.
sk"adania wniosków o stypen-
Prawie koniec. Ostatni krok "atwiej
dia. ZaleŻnie od Ęrodków fi- T"umaczyli
wykona� niŻ opisa�. Obró�my kciuki Zdzis"aw Pogoda i Robert Wolak
nansowych, pomoc moŻe by�
tak, by by"y zwrócone ku sobie, prze-
przyznawana cz�Ęciej niŻ raz
prowadęmy je przez dziury oznaczone
w roku. (M) * To znaczy, Że nie da si� tak wygina�, rozciąga�
literką b, a nast�pnie wyprowadęmy je
lub Ęcisną� jednego w�z"a (bez rozrywania i skleja-
w gór� po stronie bliŻszej. NaleŻy wte- nia), by otrzyma� drugi (przyp. t"um.).
86 �WIAT NAUKI Luty 1998