REKREACJE MATEMATYCZNE
Ian Stewart
Teoria i hazard
oĘ� lub cz�Ęciej w liczbie mno- Ogranicz� si� jednak do standar-
giej koĘci  to jedna z najstar- dowych uŻywanych wspó"czeĘnie
Kszych gier hazardowych. Hero- koĘci. Te są oczywiĘcie szeĘciana-
dot twierdzi", Że zosta"a wynaleziona mi. Na kaŻdej ze Ęcian mają uk"ad
przez Lidyjczyków w czasach króla Aty- kropek: jedną, dwie, trzy, cztery,
sa, ale Sofokles nie zgadza" si� z tym, pi�� lub sze�. Suma oczek na prze-
przypisując gr� Grekowi o imieniu Pa- ciwleg"ych Ęcianach daje 7; tak
lamedes, który pono� wpad" na jej po- wi�c mamy trzy pary Ęcian: 1 i 6,
STANDARDOWE KO�CI są podobne
mys" podczas obl�Żenia Troi. I cho� ca"- 2 i 5 oraz 3 i 4. Istnieją dok"adnie
do tych bia"ych: Ęciany z 1, 2 oraz 3 oczkami
kiem prawdopodobne, Że gra w koĘci dwa moŻliwe uk"ady spe"niające
uk"adają si� w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara wokó"
mia"a zają� czymĘ znudzonych oblega- ten warunek i jeden jest lustrza-
wspólnego wierzcho"ka. Czarne koĘci
jących, to jednak archeologowie odkry- nym odbiciem drugiego. Obecnie
przypominają uŻywane w grze madŻong.
li szeĘcienne koĘci, pod kaŻdym wzgl�- prawie wszystkie koĘci produko-
dem podobne do wspó"czesnych, juŻ wane w Europie i w USA przypo-
w egipskich grobowcach pochodzących minają te bia"e z ilustracji powyŻej; By obliczy� prawdopodobieł
stwo wy-
z 2000 roku przed Chrystusem. KoĘ� Ęciany oznaczone na nich jedną, dwiema rzucenia danej sumy, musimy znaleę�
znaleziono takŻe przy szczątkach Chił
- i trzema kropkami zorientowane są liczb� sposobów, na które moŻemy ją
czyka z oko"o roku 600 p.n.e. w kierunku przeciwnym do ruchu uzyska�. Nast�pnie dzielimy t� liczb�
KoĘci w róŻnych kszta"tach i z dziw- wskazówek zegara wokó" ich wspólne- przez 36, czyli liczb� wszystkich moŻ-
nymi oznaczeniami, wykonane z mate- go wierzcho"ka. Podobno w Japonii uŻy- liwych par pod warunkiem, Że rozróŻ-
ria"ów tak róŻnorodnych jak z�by bo- wa si� analogicznych koĘci we wszyst- niamy koĘci.
bra czy porcelana, by"y zabawką Indian kich grach z wyjątkiem madŻonga, Dla u"atwienia dobrze jest sobie wy-
Ameryki Pó"nocnej, Azteków i Majów, w którym stosuje si� odbicia lustrzane, obrazi�, Że jedna koĘ� jest czerwona,
Polinezyjczyków, Eski- takie jak koĘci czarne na rysunku po- a druga niebieska. Wtedy sum� 12 oczek
mosów, a takŻe wielu wyŻej. Od tej pory b�d� juŻ mówi" wy- moŻna otrzyma� tylko w jeden sposób:
plemion afrykał
skich. "ącznie o europejskich koĘciach. czerwona koĘ� = 6 i niebieska koĘ� = 6.
1/36
Zwykle rzuca si� je parami i sumuje Prawdopodobieł
stwo wyrzucenia 12
liczb� uzyskanych oczek. Najpierw za- wynosi zatem 1/36. Sum� 11 moŻna uzy-
"óŻmy, Że koĘci są  sprawiedliwe , to ska� jednak na dwa sposoby: czerwona
1/36
znaczy kaŻda Ęciana pojawia si� koĘ� = 6, niebieska koĘ� = 5, lub czer-
na górze z jednakowym prawdo- wona koĘ� = 5, niebieska koĘ� = 6. Praw-
1
podobieł
stwem, które wynosi /6.. dopodobieł
stwo w tym przypadku jest
3/36
wi�c równe 2/36, czyli 1/18.
Wielki matematyk i filozof niemiec-
ki Gottfried Leibniz sądzi", Że prawdo-
4/36
podobieł
stwo wyrzucenia 11 i 12 mu-
si by� takie samo, poniewaŻ jest tylko
jeden sposób otrzymania 11:
5/36
jedna ko� = 6, druga = 5. Ta
teoria nastr�cza kilka pro-
blemów. Najwi�kszy jest
6/36
chyba ten, Że zdecydowanie
nie zgadza si� z naszym do-
Ęwiadczeniem: 11 wyrzuca-
5/36
my dwa razy cz�Ęciej niŻ 12.
Ponadto prowadzi ona do
dziwnego stwierdzenia, iŻ
4/36
prawdopodobieł
stwo wy-
rzucenia za pomocą dwóch
3/36 koĘci jakiejkolwiek liczby
jest mniejsze niŻ 1. Ilustracja
z lewej pokazuje prawdopo-
PRAWDOPODOBIEĄSTWO wyrzucenia
2/36 dobieł
stwa dla dowolnej su-
dwiema koĘ�mi pewnej liczby oczek zaleŻy od liczby sposobów,
my od 2 do 12.
na jakie ta liczba moŻe by� otrzymana.
Jedna z gier, w których
KaŻdy u"amek (z lewej) wyraŻa szans� uzyskania
1/36 intuicyjne wyczucie tych
danej liczby przez dodawanie liczby oczek
na parach utworzonych z koĘci czerwonej i niebieskiej.
prawdopodobieł
stw jest
76 �WIAT NAUKI Miesiąc 1998
Ilustracje: JENNIFER C. CHRISTIANSEN
bardzo waŻne, to  craps , amerykał
- kich wierzcho"ków.
A 3 4 8 B 1 5 9 C 2 6 7
ska gra hazardowa pochodząca z lat Tymczasem jeĘli Ęcia-
B C A
czterdziestych ubieg"ego stulecia. Jeden ny 1-3-5 są ustawione
1 A A A 2 C B B 3 A C C
z graczy  myĘliwy  stawia pewną su- w kierunku przeciw-
m� pieni�dzy. Pozostali proponują w"a- nym do ruchu wska- 5 B B A 6 C C B 4 A C C
sną stawk�. JeĘli suma zaproponowa- zówek zegara wokó"
9 B B B 7 C C B 8 A A A
nych przez nich pieni�dzy jest mniejsza jednego wierzcho"-
niŻ ta, którą zaryzykowa" myĘliwy, to ka, to wokó" przyle-
NIETRANZYTYWNE KO�CI oznaczone literami A, B oraz
zmniejsza on swoją początkową staw- g"ego wierzcho"ka b�- C mają t� szczególną w"asnoĘ�, Że w wielu rzutach B wygrywa
z A oraz C wygrywa z B, ale A wygrywa z C. Ko� A ma tylko
k� tak, Żeby obie sumy si� zrówna"y. dą zorientowane w
3, 4 oraz 8 oczek na swoich Ęcianach, B  jedynie 1, 5 oraz
Nast�pnie myĘliwy rzuca koĘ�mi. JeĘli kierunku zgodnym
9 oczek, a C  2, 6 i 7. Tabele pokazują moŻliwe wyniki
wyrzuci 7 lub 11 za pierwszym razem, z ruchem wskazówek
pojedynków pomi�dzy tymi dziwnymi koĘ�mi.
wygrywa od razu; gdy trafi 2, 3 lub 12  zegara.
przegrywa. Wyniki 4, 5, 6, 8, 9 lub 10  Gór i  do"ów
mogą prowadzi� do celu. Rzuca dalej, moŻna uŻywa� w grze  craps do wie- wartoĘ� pierwszej i doda� 5; potem
Żeby uzyska�  upragnioną siódemk� . lu róŻnych celów. Na przyk"ad para ko- wynik mnoŻy przez 5 i dodaje liczb�
JeĘli mu si� uda, to wygrywa wszystko, Ęci 1-3-5 nigdy nie pozwoli wyrzuci� 7, oczek na drugiej koĘci; w nast�pnej ko-
jeĘli nie  wszystko przegrywa. czyli graczowi nigdy nie uda si� wy- lejnoĘci mnoŻy to, co otrzyma"a, przez
Z teorii prawdopodobieł
stwa i zasad gra�. Kombinacja jednej koĘci 1-3-5 i jed- 10 i dodaje wartoĘ� trzeciej kostki. Po
gry moŻna wyliczy�, Że prawdopodo- nej 2-4-6 z kolei nigdy nie da parzystej us"yszeniu wyniku iluzjonista natych-
bieł
stwo wygrania przez myĘliwego sumy, tak wi�c gracz nie b�dzie móg" miast podaje liczb� oczek trzech wyrzu-
wynosi 244/495, czyli oko"o 49.3%. Jest wyrzuci� 4, 6, 8 lub 10.  Gór trzeba za- conych kostek. Wynik oczywiĘcie jest
to troch� mniej niŻ prawdopodobieł
- tem uŻywa� ostroŻnie, by nie zosta"y nast�pujący 10(5(2a + 5) + b) + c, czyli
stwo równej szansy (50%). Wytrawni zauwaŻone, nawet bowiem najbardziej 100a + 10b + c + 250. Tak wi�c iluzjoni-
gracze mogą t� niekorzystną sytuacj� naiwnych graczy zacznie w koł
cu za- sta odejmuje od wyniku 250 i trzy cyfry
zmieni� na dwa sposoby. Jeden z nich stanawia�, dlaczego pojawiają si� jedy- w ten sposób otrzymanej liczby są licz-
to przyjmowanie lub odrzucanie róŻ- nie parzyste sumy. bami oczek trzech wyrzuconych koĘci.
nych  zak"adów na boku od graczy. KoĘci wykorzystywane są do wielu Inne problemy dotyczą modyfikowa-
Drugi  to po prostu oszustwo: wpro- sztuczek. Sporo opartych jest na fakcie, nych koĘci i niestandardowego ich nu-
wadzenie do gry podrobionych koĘci. Że suma oczek na przeciwleg"ych Ęcia- merowania. Na przyk"ad: czy moŻna
KoĘci daje si� spreparowa� na wiele nach jest równa 7. Jedną z takich sztu- znaleę� sposób oznaczenia dwóch ko-
sposobów. MoŻna ich Ęciany delikatnie czek opisa" Martin Gardner w swojej Ęci, uŻywając tylko liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5
oszlifowa�, tak aby w wierzcho"kach nie ksiąŻce Mathematical Magic Show (Alfred oraz 6, tak by sumy od 1 do 12 by"y jed-
zbiega"y si� pod kątem prostym, albo teŻ A. Knopf, 1977). Iluzjonista odwraca si� nakowo prawdopodobne? (Odpowiedę
nafaszerowa� je ci�Żarkami. Obie tech- plecami do publicznoĘci i zaprasza ko- znajdziesz na koł
cu.) By� moŻe najbar-
niki mają na celu zwi�kszenie prawdo- goĘ z widowni, by rzuci" trzema zwy- dziej sprzecznym z naszą intuicją przy-
podobieł
stwa pewnych rzutów. Jeszcze k"ymi koĘ�mi i zsumowa" liczb� oczek. k"adem jest przypadek  koĘci nietran-
drastyczniejsza forma fa"szerstwa stan- Nast�pnie prosi  ofiar� o wybranie jed- zytywnych . Przygotujmy trzy koĘci A,
dardowych koĘci polega na zastąpieniu nej z tych koĘci, odwrócenie jej i dodanie B, C oznaczone nast�pująco:
ich  górami i  do"ami , czyli mającymi ods"oni�tej liczby oczek do poprzedniej
tylko trzy róŻne liczby oczek (przeciw- sumy. W koł
cu on sam rzuca ponow- A: 3 3 4 4 8 8
leg"e Ęciany mają t� samą liczb� punk- nie wybraną koĘcią i znów dodaje od- B: 1 1 5 5 9 9
tów). Ilustracja poniŻej pokazuje przy- s"oni�tą liczb� oczek do wczeĘniejszej C: 2 2 6 6 7 7
k"adowo koĘ� o Ęcianach z 1, 3 i 5 sumy. (Ochotnik nie zdradza kolejnych
oczkami. PoniewaŻ gracz w kaŻdym mo- wyników dodawania.) Nast�pnie ilu- W wi�kszej liczbie rzutów B wygrywa
mencie widzi tylko trzy Ęciany kostki, zjonista si� odwraca i natychniast po- z A. RzeczywiĘcie koĘcią B wyrzuca si�
z których Żadna nie ma jednakowej licz- daje sum�, chociaŻ nie ma poj�cia, któ- wi�kszą liczb� oczek niŻ koĘcią A z praw-
by oczek, przy szybkim rzucie moŻe mu ra koĘ� zosta"a wybrana. dopodobieł
stwem 5/9. Podobnie C wy-
si� wydawa�, Że wszystko jest w porząd- Jak to jest moŻliwe? Za"óŻmy, Że wy- grywa z B z prawdopodobieł
stwem 5/9.
ku. Trudno jednak spostrzec, w jaki spo- rzucona liczba oczek wynosi a, b i c oraz Czy zatem w sposób równie oczywisty
sób są u"oŻone Ęciany wzgl�dem wszyst- Że wybraliĘmy koĘ� a. Początkowa suma C wygrywa z A? Wcale tak nie jest. A wy-
wynosi a + b + c. Do tej sumy dodajemy grywa z C z prawdopodobieł
stwem 5/9.
7  a i otrzymujemy 7 + b + c. Nast�p- PowyŻsza tabela uzasadnia to stwierdze-
nie rzucamy ponownie kostką a, otrzy- nie. MoŻemy zbi� fortun�, mając zestaw
mując d. Wynik koł
cowy jest równy d + takich koĘci. Pozwól swojemu przeciw-
b + c + 7. Iluzjonista widzi trzy koĘci da- nikowi wybra� jedną z nich, a nast�pnie
jące w sumie d + b + c; tak wi�c wystar- weę sam t�, która ją bije (przy duŻej licz-
czy, Że szybko zsumuje te liczby, a na- bie rzutów z prawdopodobieł
stwem
st�pnie doda jeszcze 7. wi�kszym niŻ pó" na pó"). Powtórz. Wy-
Henry Ernest Dudeney, wielki angiel- grasz w 55.55% wszystkich gier, pomi-
ski szaradzista, w swojej ksiąŻce Amuse- mo Że twój przeciwnik ma prawo wybo-
ments in Mathematics (Dover Publica- ru  najlepszej koĘci.
tions, 1958) opisa" sztuczk� innego A teraz ostrzeŻenie: nie polegaj zbyt-
rodzaju. Iluzjonista takŻe prosi kogoĘ nio na rachunku prawdopodobieł
stwa
 GÓRY , czyli fa"szywe koĘci mające
o rzucenie trzema ko�mi za jego pleca- bez ustalenia bardzo dok"adnych regu"
tylko 1, 3 oraz 5 oczek na swoich Ęcianach.
Grając nimi w  craps , nigdy nie wygrasz. mi. Tym razem  ofiara ma podwoi� gry. W swojej wspania"ej ksiąŻeczce The
�WIAT NAUKI Miesiąc 1998 77
Broken Dice (University of Chicago Press,
SPRZó�ENIE ZWROTNE
1993) Ivar Ekeland przytacza historyj-
k� o dwóch skandynawskich królach,
oczta dotycząca gry Juniper Green [�wiat Nauki, maj 1997] by"a tak obfita, Że
którzy zagrali w koĘci o wysp�. Szwedz-
Pmog� najwyŻej tylko bardzo pobieŻnie odda� honor swym korespondentom. Po
ki w"adca rzuci" dwiema ko�mi i trafi"
pierwsze, musz� przeprosi� za kilka b"�dów. Najgorszym by"o moje odniesienie do
dwie szóstki. Che"pi" si�, Że jego wyni-
Richarda Porteousa jako wynalazcy gry  nosi on to samo nazwisko, ale na imi� ma
ku nie moŻna pobi� i Że król Olaf z Nor-
Rob. Marc Loveday z Fruita (Kolorado) zauwaŻy", iŻ krok 18 z pierwszego schema-
wegii powinien si� podda�. Olaf wy-
tu pomija fakt, Że Bob moŻe wybra� 18 zamiast 2. Wielu czytelników, w tym Arlin
mamrota", Że on takŻe moŻe trafi� dwie
Anderson z Madison (Alabama) oraz William J. Shlaer z Vashon Island (Waszyng-
szóstki i rzuci" swoimi koĘ�mi. Na jed-
ton), wytkn�li mi b"ąd w przypadku JG-1, który jest wtórny, poniewaŻ Alice nie mo-
nej pojawi"a si� szóstka, druga rozpa-
Że rozpoczą� gry od 1, a zatem nie moŻe w ogóle gra�. Anderson równieŻ popra-
d"a si� na dwie cz�Ęci, pokazując na jed-
wi" mnie, jeĘli chodzi o JG-9, który jest takŻe wtórny.
nej 6, a na drugiej 1. W sumie: 13! Wnio-
Porteous przes"a" mi analiz� JG-100 dokonaną przez Petera Conlona, Monique
Barendse oraz Laurie Fischer, jego obecnych uczniów. Wykazali oni w szczegól- sek: to, co uwaŻasz za moŻliwe, zaleŻy
noĘci, Że istnieją zwyci�skie strategie, gdy gr� zaczyna si� od 58 lub 62. Micheal od sposobu postawienia problemu.
D. Tibbetts z Clearwater (Floryda) doszed" do tych samych wniosków. ZauwaŻy", Że
Zwracam uwag�, Że zdaniem kilku
liczby pierwsze odgrywają rol� we wszystkich aspektach gry i podzieli" je na czte- cyników król Olaf zaaranŻowa" ca"e to
ry rodziny: duŻe (53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97), Ęrednio duŻe (37, 41, 43,
widowisko.
47), Ęrednie (29, 31) i ma"e (17, 19). Zwyci�skie otwarcia są podwojonymi Ęredni-
mi liczbami pierwszymi.
ODPOWIEDŁ: �eby wszystkie sumy od
Paul. J. Blatz z Van Nuys (Kalifornia) przypomnia" sobie, Że gr� t� w póęnych la-
1 do 12 by"y jednakowo prawdopodobne,
tach trzydziestych omawia" Eugene P. Wigner na swoich zaj�ciach z teorii liczb
trzeba Ęciany pierwszej koĘci oznaczy� 1, 2,
w Princeton University. We wszystkich przypadkach zosta" podany sposób na zwy-
3, 4, 5 oraz 6, a Ęciany drugiej: 0, 0, 0, 6 6
ci�stwo w tej grze. Odpowiedę dla JG-n zaleŻy od parzystoĘci lub nieparzystoĘci po-
oraz 6.
t�g liczb pierwszych, które pojawiają si� przy rozk"adzie na czynniki pierwsze licz-
by n:n! = n(n  1) (n  2) . ... . 2 . 1.
T"umaczyli
Zdzis"aw Pogoda i Robert Wolak
FUNDACJA NA RZECZ NAUKI POLSKIEJ
wybiera co roku dwie dyscypliny naukowe o szczególnym znaczeniu, aby pomóc pracującym w tych obsza-
rach najlepszym zespo"om naukowym w poszerzeniu ich moŻliwoĘci warsztatowych i otwarciu im nowych
perspektyw badawczych. Dziedziny, które b�dą subwencjonowane w roku 1998, to:
badania nad wykorzystaniem promieniowania jądrowego w medycynie (program MARIA)
modernizacja hodowli zwierząt doĘwiadczalnych (program ZWIERZóTARNIA).
Program MARIA
(radioterapia)
Ustanowiony zosta" dla uczczenia setnej rocznicy odkrycia polonu i radu przez Mari� Curie-Sk"odowską. Jego celem jest wspiera-
nie badał
nad wykorzystaniem promieniowania jądrowego w medycynie, ze szczególnym uwzgl�dnieniem brachyterapii, stosowa-
nej g"ównie w chorobach nowotworowych. Chorzy leczeni tą metodą stanowią ponad 20% ogó"u pacjentów kwalifikowanych do
radioterapii.
Fundacja oczekuje na wnioski dotyczące zakupów aparatury badawczej od zespo"ów lekarzy onkologów, kardiologów i naczyniow-
ców, prowadzących badania naukowe w zakresie róŻnych form brachyterapii, oraz od zespo"ów zajmujących si� optymalizacją
ęróde" promieniowania wykorzystywanych w tym rodzaju terapii.
Termin sk"adania wniosków do programu-konkursu up"ywa 31 stycznia.
Program ZWIERZóTARNIA
(unowoczeĘnianie hodowli zwierząt doĘwiadczalnych)
Nowelizacja polskiego prawa w zakresie respektowania praw zwierząt, dostosowująca krajowe regulacje do norm Unii Europej-
skiej, spowodowa"a koniecznoĘ� modernizacji warunków hodowli zwierząt laboratoryjnych w Polsce. Powszechnie wiadomo, jak waŻ-
ną rol� w wielu dyscyplinach nauk przyrodniczych, zw"aszcza biologicznych i medycznych, odgrywają badania prowadzone na
zwierz�tach. Niew"aĘciwe cz�sto warunki hodowli zwierząt doĘwiadczalnych rzutują nie tylko na efekty i wiarygodnoĘ� badał
, ale
stwarzają takŻe znaczne psychiczne obciąŻenie dla prowadzących badania uczonych.
Doceniając wag� problemu, Fundacja postanowi"a poprzez swój program udzieli� pomocy najlepszym placówkom w realizacji in-
westycji modernizacyjnych w zwierz�tarniach.
Termin sk"adania wniosków do programu, mającego charakter konkursu, up"ywa 31 marca.
Fundacja na Rzecz Nauki Polskiej, 02-548 WARSZAWA, ul. GraŻyny 11, tel./faks: 845 40 54, 845 11 82; http://www.fnp.org.pl
78 �WIAT NAUKI Miesiąc 1998