Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 1
5. ����Ł�
5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODPÓR I BA

DY MONTAŻU
W RÓWNANIU PRACY WIRTUALNEJ
5.1. Wpływ temperatury
Działanie temperatury ma istotny wpływ na odkształcanie konstrukcji lub jej elementów. Częstym
zjawiskiem jest działanie dwóch różnych temperatur na układ.
Ma to miejsce wówczas, gdy na przykład wewnątrz hali występuje temperatura dodatnia a na zewnątrz
panuje mróz. W takim przypadku mamy do czynienia z tzw. ogrzaniem nierównomiernym. Jeśli element
konstrukcji wykonany był na przykład ze stali, to włókna znajdujące się po stronie cieplejszej wydłużą się,
natomiast włókna znajdujące się po stronie zimniejszej skurczą się. W takiej sytuacji dochodzi do
odkształcenia tego elementu. Widoczna jest analogia pomiędzy działaniem nierównomiernego ogrzania i
działaniem momentu zginającego.
W przypadku występowania takiej samej temperatury na wysokości i długości pręta, mamy do
czynienia z tzw. ogrzaniem równomiernym. Może dojść wtedy do wydłużenia lub skrócenia elementu w
sposób równomierny we wszystkich kierunkach. Zauważmy podobieństwo między działaniem równomiernego
ogrzania a działaniem siły normalnej.
Przed przystąpieniem do rozważań, poczyńmy pewne założenia. Przyjmiemy, że temperatura będzie
zmieniała się na wysokości pręta w sposób liniowy. Nie jest to twierdzenie prawdziwe, lecz znacznie
upraszcza zadanie.
tg
t0 t0- tg
hg
t0
h
= +
hd
td td- t0
Rys. 5.1. Schemat działania temperatury rozłożonej równomierne i nierównomiernie
t  temperatura panująca w środku ciężkości przekroju,
0
t  temperatura panująca po stronie włókien dolnych,
d
t  temperatura panująca po stronie włókien górnych.
g
Na powyższym schemacie (rys. 5.1) dobrze widać analogię pomiędzy działaniem temperatury,
(równomierne ogrzanie i nierównomierne ogrzanie) a odpowiednim działaniem siły normalnej i momentu
zginającego.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 2
Wyznaczmy temperaturę t przekroju niesymetrycznego:
0
a=t0-tg b=hg c=hd d =td-tg
Po przyjęciu oznaczeń: , , , , korzystając z twierdzenia Talesa można
zapisać relację:
b b�ąc
=
a d
z której wynika wzór:
bd
a=
b�ąc
Po podstawieniu wcześniejszych zależności, otrzymamy:
td-tg
śą źą
(5.1)
t0=tg�ąhg
h
Dla przekroju symetrycznego prawdziwa jest następująca relacja:
t0-t
1
g
=
(5.2)
td-tg 2
Z warunku (5.2) wartość temperatury średniej wynosi:
tg�ątd
t0= (5.3)
2
Rozpatrzmy teraz działanie ogrzania równomiernego na pręt:
l "l
Rys. 5.2. Wydłużenie pręta pod wpływem temperatury
�ąt
Wartość wydłużenia zależy od temperatury montażu t i współczynnika rozszerzalności termicznej :
m
�ąl=l t0 -tm �ąt
(5.4)
śą źą
Przykładowo, pręty kratownicy montowanej w temperaturze +10�C ulegają pewnemu wydłużeniu już
na etapie konstruowania. Z rozważań wynika, że pręty te poddane póz
niejszemu działaniu temperatury
t0 =�ą10 � C
nie ulegnie ani wydłużeniu ani skróceniu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 3
Zastępując wyrażenie (t  t ) literą t, otrzymujemy:
0 m
�ą l=l t �ąt
(5.5)
Równomierne rozłożona temperatura będzie powodowała równomierną zmianę długości zarówno
włókien dolnych jak i górnych. Wiemy już, że w równaniu pracy wirtualnej, działanie siły normalnej opisuje
wzór:
l
ą
N �ą ds (5.6)
+"
0
Wyrażenie � określało wpływ siły normalnej działającej na przekrój z uwzględnieniem modułu Younga.
t
W przypadku działania równomiernie rozłożonej temperatury, czynnik � określimy następująco:
t
l t �ąt
�ąl
�ą=�ąt= = =t �ąt (5.7)
l l
Zatem dla przekroju symetrycznego, wpływ równomiernego ogrzania będzie opisany zależnością:
l
td�ątg
ą
N -tm �ąt ds (5.8)
+"
śą źą
2
0
Rozpatrzmy teraz działanie nierównomiernie rozłożonej temperatury. Skrócenie włókien zimniejszych,
wydłużenie włókien cieplejszych doprowadzi do powstania krzywizny na długości pręta. Zjawisko to opisuje
w równaniu pracy wirtualnej człon momentu zginającego, uzależnionego od różnicy temperatur.
"s
s
"lg
tg
dĆ
td tg"ld
Rys. 5.3. Interpretacja graficzna działania temperatury na pręt
Zakładamy małe przemieszczenia i małe kąty, więc:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 4
tg d �ąH"d �ą (5.9)
Obliczmy wydłużenie l i l :
d g
�ąld=�ąt td-tm ds (5.10)
śą źą
�ąlg=�ąt tg-tm ds
śą źą
(5.11)
Skorzystamy teraz z zależności trygonometrycznej:
�ąt td-tg
�ą ld-�ą l
śą źą
g
(5.12)
d �ąH"tg d �ą= = ds
h h
Zauważmy, że w powyższym wzorze opisującym kąt na jakim pracuje moment zginający spowodowany
różnicą temperatur, nie występuje temperatura montażu t . Przyjmijmy, że:
m
�ą t=td-tg
(5.13)
Zatem praca wirtualna momentu wywołanego różnicą temperatur wykonana na kącie dĆ, będzie miała
następującą postać:
l l
�ąt �ąt
ą ą
M d �ą= M ds (5.14)
+" +"
h
0 0
5.2. Podpory sprężyste
Podpory sprężyste zwane też podporami podatnymi, mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod
wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do
reakcji w nich występujących.
P
Rys. 5.5. Działanie podpory o podatności liniowej
Podpora może mieć podatność liniową lub obrotową (kątową). Podpora o podatności liniowej to na
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 5
przykład sprężyna pionowo podpierająca belkę (rys. 5.5).
Podpora o podatności obrotowej to taka, w której pod wpływem siły nastąpi obrót przekroju (rys. 5.6).
Przykładem mogą być dwie sprężyny poziome i przytwierdzona do nich belka.
� [Nm/rad] - sztywność
� [Nm/rad] - sztywność
P
P
Rys. 5.6. Działanie podpory o podatności obrotowej
Podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły. Podatność
liniową wyrażamy w [m/N], natomiast podatność obrotową w [rad/Nm]. Popatrzmy skąd to wynika. Jeśli na
naszą podporę zadziała siła N (wzdłuż jej osi, normalna), to zgodnie z prawem Hooke`a, pręt o długości
pierwotnej l ulegnie skróceniu o "l.
N l
�ąl=
(5.15)
EA
Jeśli przyłożymy siłę N=1 [N], to wyrażenie przekształci się do postaci:
l
�ą l= (5.16)
EA
Wynika z tego, że wyrażenie:
l m m
f = =
EA N N
(5.17)
m2
[ ]
m2
jest szukaną podatnością.
Posługujemy się też parametrem określanym jako sztywność podpory. Określamy w taki sposób relację
między siłą a ugięciem podpory. Jest to po prostu odwrotność podatności.
k=1 N (5.18)
[ ]
f m
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 6
Sztywność jest określana jako wartość przyłożonej siły, która spowodowała jednostkowe
ą
�ą
przemieszczenie podpory. Pracę jednostkowej siły P na przemieszczeniu podpory określimy zależnością:
ą
L=P�"�ą (5.19)
Zwróćmy uwagę, że w wyrażeniu tym nie pojawia się połowa tej pracy, ale cała jej wartość! Wynika to
stąd, iż nie jest to praca własna!
5.3. Ogólne równanie pracy wirtualnej
Równanie pracy wirtualnej uwzglęniające wszystkie wpływy działające na układ przyjmie postać:
M �ąt �ą t N T Ąą
P P P
ą ą ą ą ą
Pi �ą �ą Rk �ąk= M �ą ds�ą N �ą�ąt t ds�ą T ds �ą
" " " +" +" +"
i
śą źą śą źą
{ }
EJ h EA GA
i i j
s s s
(5.20)
ą ą
�ą Rn Rśą Pźą f �ą Bmbm
" "
n
n m
" -niewiadome przemieszczenie,
i
ą
Pi - jednostkowa siła wirtualna,
ą
Rk - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia),
" - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór),
k
M , N , T
P P P - wewnętrzne siły rzeczywiste,
ą
Rn - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej,
Rśą Pźą - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej,
n
bm - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m,
ą
Bm - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.
ą
Bm bm
Iloczyn i mówi nam jaką pracę wykonała siła w pręcie na odcinku błędu (różnicy kąta
rzeczywistego i zadanego lub różnicy długości rzeczywistej i zadanej), np. praca spowodowana
zamontowaniem zbyt długiego pręta.
5.4. Twierdzenie Mohra  Wereszczegina (całka z iloczynu funkcji)
Licząc przemieszczenia w układach, musieliśmy całkować wyrażenie, będące iloczynem członu
wirtualnego i rzeczywistego. Musieliśmy znać równania tych wrażeń. W niektórych przypadkach było to
uciążliwe, a na pewno we wszystkich-czasochłonne. Okazuje się, że całki tych funkcji możemy wymnożyć
przez siebie w dużo prostszy sposób. Mianowicie, nie trzeba znać równań tych wyrażeń i co ważniejsze, nie
trzeba całkować tych wyrażeń. Przejdz
my do twierdzenia:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 7
Całka oznaczona z iloczynu dwóch funkcji ciągłych w obrębie przedziału, z
których jedna jest funkcją liniową, równa jest iloczynowi pola powierzchni
wykresu funkcji krzywoliniowej przez rzędną wykresu funkcji liniowej
odpowiadającej środkowi ciężkości wykresu krzywoliniowego.
Jest to w gruncie rzeczy bardzo proste twierdzenie, gdyż wykresy wirtualne są zawsze prostoliniowe,
natomiast wykresy momentu od obciążenia ciągłego, stałego- są stopnia drugiego. Oczywiście obciążenie
trójkątne da nam wykres momentu stopnia trzeciego ale mimo wszystko nie jest to problem.
Fx
�!
X 0
a b
x0
�b
�0
�(x)
�a
x
l =b - a
Rys. 5.7. Interpretacja całkowania graficznego wykresów funkcji
�ąb-�ąa
�ąśą xźą=�ąa�ą x (5.21)
l
l=b-a (5.22)
b
�ąb-�ąa b �ąb-�ąa b �ąb-�ąa
Fśąxźą �ąa�ą x dx= �ąa Fśąxźądx�ą Fśą xźą x dx=śą! �ąa�ą śą! x0 =
+" +" +"
[ ]
l l l
a a a
(5.23)
�ąb-�ąa
=śą! �ąa�ą x0 =śą! �ą0
[ ]
l
Wyrażenie:
b
Fśą xźą x dx=śą! x0 (5.24)
+"
a
jest momentem statycznym obszaru � względem początku układu. Jest to dowód na słuszność tego
!
twierdzenia.
Pamiętajmy jednak o kilku zasadach, których nie wolno pominąć:
1. Mnożymy wykresy tylko w obszarze ciągłości obu funkcji.
2. Pracę wirtualną obliczamy tylko w prętach o stałym przekroju i parametrach.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 8
Trzeba też podkreślić, że powyższe twierdzenie to instrument do obliczania ugięć a nie bezpośrednie
liczenie ugięć. Błędne jest mówienie, że ugięcie otrzymamy poprzez mnożenie wykresów! Parametry
geometryczne figur prostych podano w tabeli 5.1:
Tabela 5.1. Parametry figur geometrycznych
FIGURA POLE POWIERZCHNI ŚRODEK CI
ŻKOŚCI
h
l
śą=lh x0 =
x0
2
l
h
lh l
śą= x0 =
x0
2 3
l
h
lh
śą=
l
3
x0 =
4
krzywa y=ax2
x0
l
h
lh
śą=
l
4
x0 =
5
krzywa y=ax3
x0
l
Rozwiążmy teraz kilka przykładów.
Przykład 1
Poszukujemy wartości całki z iloczynu dwóch funkcji, których wykresy przedstawiono na rys. 5.8:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 9
a
2
a M
Mp
b
l
Rys. 5.8. Przykład wykresów sił wewnętrznych pochodzących od sił rzeczywistych i wirtualnych
Jest to równoważne z pomnożeniem pola któregoś z powyższych wykresów (oba są prostoliniowe)
przez rzędną środka ciężkości drugiego. Pomnóżmy pole trójkąta przez rzędną odczytaną z prostokąta pod
środkiem ciężkości trójkąta (będzie to zawsze b).
l a�"b
ą
M M dx=
+"
P
2
Zobaczmy teraz dla pewności czy taki sam wynik otrzymamy mnożąc pole powierzchni prostokąta
przez rzędną w trójkącie pod środkiem ciężkości prostokąta.
ą
M M dx=l b�"a
+"
P
2
Przykład 2
Wyznaczymy całkę z iloczynu funkcji o bardziej skomplikowanym przebiegu. Wykresy funkcji w
obszarze całkowania muszą być ciągłe (C1). Siły skupione powodują powstanie nieciągłości na wykresie
momentów. Wtedy obszar całkowania należy podzielić na przedziały AB i BD (obydwa wykresy).
a
E
B D
A
M
b
m
k
d
Mp
A
B
D
c
Rys. 5.9. Wykres sił wewnętrznych wirtualnych i rzeczywistych
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 10
Górny wykres (rys. 5.9) pochodzi od siły wirtualnej, natomiast dolny  od sił rzeczywistych. Rozłóżmy
więc najpierw na figury proste wykres pochodzący od siły wirtualnej (rys. 5.10).
a
E B
A D M
b
m
k
a
E B
A
D
b
Rys. 5.10. Uproszczenie wykresu pochodzącego od siły wirtualnej
Można udowodnić, że dwa powyższe wykresy (rys. 5.10) są sobie równoważne. Brak konieczności
szukania położenia punktu E bardzo upraszcza i skraca rachunki. Tak samo rozkładamy na figury proste
wykres pochodzący od sił rzeczywistych (rys. 5.11).
d
Mp
B
D
A
c
m
k
d
A B
D
c
B
D
A
qm2
qk2
8
8
Rys. 5.11. Wykresy sił rzeczywistych rozłożone na poszczególne składowe
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 11
Wykorzystaliśmy twierdzenie mówiące, że maksymalna rzędna momentu zginającego pochodzącego od
ql2
obciążenia ciągłego q na dowolnym odcinku l wynosi . Scałkujmy więc wykresy pochodzące od siły
8
wirtualnej i sił rzeczywistych. Nie zapominajmy jednak, że licząc ugięcia, musimy uwzględnić jeszcze stałe
materiałowe i poszczególne moduły występujące w równaniu pracy wirtualnej. Teraz jednak ćwiczymy
umiejętność całkowania wykresów metodą Mohra, więc skupimy się tylko na tej części obliczeń.
Przypomnijmy, że mnożymy pole wykresu krzywoliniowego (pochodzącego od sił rzeczywistych) przez
rzędną wykresu prostoliniowego (pochodzącego od siły wirtualnej) znajdującą się pod środkiem ciężkości
wykresu powstałego w wyniku działania sił rzeczywistych. Należy także pamiętać o znaku iloczynu. Jeżeli
wykresy sił wewnętrznych leżą po tej samej stronie osi pręta to ich iloczyn jest dodatni. Całka z iloczynu
funkcji leżących po przeciwnych stronach jest wartością ujemną.
d
MP
a
M
A B
E B
A
D
D
c
A B
D
k m
qm2
qk2
8
8
k m
Rys. 5.12. Wykres rzeczywisty i wirtualny rozłożony na figury ułatwiające całkowanie
2
1 �"k�"c�" 2 �"b-1 �"a �ą 2 �"k�"qk 1 1 �"m�"d�"1 �"b�ą 1 �"m�"c�"2 �"b�ą
ą
M M dx= �" śąb-aźą -
+"
P
śą źą [ ]
2 3 3 3 8 2 2 3 2 3
2 �"m�"qm2�"1
�ą b
3 8 2
Wynik jest tu mało istotny, ponieważ chodzi o pokazanie całkowania krok po kroku. W powyższym
2 2
2
2 2
wyrażeniu występuje człon k�"qk i m�"qm . Jest to wzór na pole paraboli. Zauważmy, że są to pola
3
3 8 3 8
prostokąta opisanego na tej paraboli. W większości przypadków, wykresy sił wewnętrznych pochodzących od
obciążenia rzeczywistego rozkładamy na trójkąt i parabolę. Pamiętajmy o tym, że w wykresach
parabolicznych wklęsłych od trójkąta powinniśmy odjąć parabolę, natomiast w wypukłych zsumować obie
figury (rys. 5.13).
-
=
+
=
Rys. 5.13. Składowe wykresów złożonych
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 12
Przykład 3
Obliczymy przemieszczenie kątowe (obrót przekroju) przekroju B i przekroju C w belce (rys. 5.12).
q
A B C
x
l l
2 2
Rys. 5.14. Belka jednostronnie utwierdzona
Uznając, że wpływ sił normalnych i poprzecznych na ugięcie i kąt obrotu jest znikomy, pomijamy w
równaniu pracy wirtualnej wyrażenia z nimi związane.
Jako pierwsze obliczymy zadanie dotyczące obrotu przekroju w punkcie C. Chcemy obliczyć obrót tego
przekroju. Wiemy, że siłą działającą na obrocie jest moment. Zatem w przekroju tym przykładamy
jednostkowy, bezwymiarowy moment zginający (rys. 5.13).
1 [-]
A
B
l l C
2 2
x
1
M
B C
A
x
Rys. 5.15. Wykres momentu wirtualnego pochodzący od jednostkowego momentu skupionego w punkcie C
Do obliczenia zadania potrzebujemy równania momentu wirtualnego i momentu rzeczywistego.
Obliczmy moment zginający wynikający z działania obciążenia ciągłego q (rys. 5.14).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 13
q
C
A B
x
l l
2 2
ql2
2
MP
C
A B
x
Rys. 5.16. Wykres momentu zginającego pochodzącego od obciążenia ciągłego q
Rozcinamy myślowo belkę od strony wolnego końca, co pozwoli nam uniknąć liczenia reakcji w
utwierdzeniu. Zakładamy, że moment powodujący rozciąganie włókien dolnych ma dodatni znak.
M śąxźą�ąq�"x�"x =0
P
2
2
M śąxźą=-qx [kNm]
P
2
Otrzymaliśmy wynik ze znakiem minus co oznacza, że obciążenie rozciąga włókna górne. Przejdz
my do
obliczenia momentu będącego wynikiem działania jednostkowego, bezwymiarowego momentu zginającego.
Widać od razu, że na całej długości jest on równy jedności i rozciągane są włókna górne.
ą ą
M śąxźą=-1 [-]
Sformułujmy zasadę pracy wirtualnej dla tego układu. Wiemy, że praca sił zewnętrznych musi być
równa pracy sił wewnętrznych. Mamy zatem:
l l
M śą xźą
P
ą
�ąc�"ą M śą xźą dx= -ą�"-q x2�" 1 dx
1= 1
+" +"
EJ 2 EJ
0 0
Podzielmy równanie przez jedynkę wirtualną, i scałkujmy równanie.
l l
q q q l3
�ąc= x2 dx= �"x3 =
+"
#"
2 EJ 6 EJ 6 EJ
0
0
Licząc samodzielnie nie musimy pisać jedynki wirtualnej bo widzimy, że jest to umowna wielkość, która
nie ma wpływu na wynik.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 14
Wyliczmy teraz obrót przekroju w punkcie B. Ponownie obciążamy belkę skupionym momentem
wirtualnym, jednak tym razem w przekroju B.
1
C
A
B
l l
2 2
1
x
M
C
A
B
x
Rys. 5.17. Wykres momentu pochodzącego od jednostkowej siły wirtualnej
Potrzebna będzie również funkcja rzeczywistego momentu (pochodzącego od obciążenia ciągłego q):
q
C
A B
x
l l
2 2
ql2
2
MP
C
A
B
x
Rys. 5.18. Wykres momentu zginającego pochodzącego od obciążenia ciągłego q
Ponieważ funkcja wirtualnego momentu jest nieciągła na długości belki, pracę wirtualną musimy liczyć
l l
jako sumę dwóch całek w granicach (0; ) i ( ;l)
2 2
l
2 l l
M śąxźą M śąxźą
P P
ą ą
�ąB�"ą M śąxźą dx�ą M śąxźą dx= -ą�"-q x2�" 1 dx
1= 1
+" +" +"
EJ EJ 2 EJ
0 l l
2 2
l l 3
q q q l 7 ql3
�ąB= x2 dx= �"x3 l = l3- =
+"
#" śą źą
[ ]
2 EJ 6 EJ 6 EJ 2 48 EJ
l
2
2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 15
Nie zapomnijmy o rachunku jednostek dla sprawdzenia:
kN
�"m3
m kNm2 =1=rd
=
kN
�"m4 kNm2
[ ]
m2
Radian jest niemianowany, dlatego właśnie napisaliśmy 1.
Przykład 4
Dla danego układu obliczyć przemieszczenie pionowe � , poziome � oraz kąt obrotu Ć przekroju A,
yA xA A
uwzględniając wszystkie wpływy sił wewnętrznych  siły normalnej Ną, siły tnącej Tą, momentu zginającego
Mą. Pręt ten ma przekrój kołowy o średnicy 20 cm (rys. 5.19).
x
q =10 [kN/m]
A
y
r =5 [m]
ą
0
Rys. 5.19. Zadany łuk
Dane:
r=5 [m]
q=10 [kN / m]
E=205 [GPa]=205 �"106 [kN / m2]
E �=10 =1,1śą1źą
G= =76875 �"10 3 [kN / m2]
9
2 1�ą�ą
śą źą
1
�= =0,3śą3źą
3
Wyznaczamy wielkości charakterystyczne przekroju:
A=0,0314159 [m2]
J =0,0000785398 [m4]
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 16
Aby uprościć obliczenia, przyjmiemy układ współrzędnych biegunowych, ze środkiem w punkcie 0.
Relacje pomiędzy współrzędnymi są następujące:
x=r sin�ą
y=r śą1-cos �ąźą
Ponadto:
ds=r d �ą
Wyrażenie ds to odcinek łuku, różniczka łuku, dą to różniczka kąta. Spójrzmy jakie ugięcia mają prawo
wystąpić w naszym układzie. Przemieszczenia na rysunku są celowo nakreślone z przesadą, by lepiej ukazać
istotę zagadnienia. Przykładem działania takiego obciążenia może być wiatr.
�xA
x
q =10 [kN/m]
�yA A
ĆA A'
y
r =5 [m]
ą
0
W celu wyznaczenia równań sił wewnętrznych pochodzących od siły rzeczywistej i wirtualnej, musimy
obliczyć składową poziomą i pionową tych sił. Uzależniamy zmianę nachylenia działającej siły od przyrostu
(zmiany) kąta. Krótko mówiąc  rzutujemy siły działające na kierunku osi x lub osi y, na kierunki siły
normalnej Ną i tnącej Tą
w przekroju łuku nachylonym pod kątem ą.
x
A
qy cos ą
qy
ą
ą
y
Tą
Ną qy sin ą
Mą
y'
x'
ą
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 17
Układając równania równowagi dla łuku obciążonego w sposób ciągły otrzymujemy funkcję:
y '=0
"
T �ąq�"y�"sin�ą=0
�ą
x '=0
"
N -q�"y�"cos �ą=0
�ą
M =0
"
�ą-�ą
-M -q�"y�"y =0
�ą
2
2
M =-q r2 1 -cos �ą
śą źą
�ą
2
Następnie, po wprowadzeniu współrzędnych biegunowych:
T =-q�"r�"sin�ąśą1  cos �ąźą
�ą
N =q�"cos �ą�"rśą1  cos �ąźą
�ą
Rzutowanie siły wirtualnej będziemy przeprowadzali w trakcie liczenia poszczególnych przypadków
działania tej siły. Przemieszczenia poziome � przekroju A wyznaczymy przykładając jednostkową siłę po
xA
tym kierunku.
1 cos ą
1 [-] A x
x
1
ą
A
1 sin ą
ą
y
y
Tą
Ną
Mą
r =5 [m]
y'
x'
ą ą
0
Po zrzutowaniu otrzymaliśmy równania sił wewnętrznych:
y '=0
"
ą�ą ą
T =-1 �"sin �ą
x '=0
"
ą�ą ą
N =1 �"cos �ą
M =0
"
�ą-�ą
ą�ą ą
M =-1 �"r 1 -cos �ą
śą źą
Wiemy, że przemieszczenia w podporze są zerowe, a co za tym idzie praca reakcji podporowych na
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 18
przemieszczeniach jest równa zeru. Natomiast praca siły wirtualnej przyłożonej po kierunku interesującego
nas przemieszczenia nie jest równa zeru, ponieważ przemieszczenie to chcemy obliczyć. Otrzymujemy zatem
wyrażenie na pracę sił zewnętrznych następującej postaci:
ą ą
Lz=1 �"�ąyA
Zwróćmy uwagę, że praca jest dodatnia. Wynika to z faktu, iż siła wirtualna ma ten sam zwrot co
założony kierunek przemieszczenia. Obie wielkości mają zwroty przeciwne do zwrotu osi x, jednak
pomnożone przez siebie dwie ujemne wartości dają znak dodatni. Napiszmy od razu równanie pracy wirtualnej
dla przemieszczenia poziomego przekroju A. Po lewej stronie równania mamy pracę sił zewnętrznych, która
równa jest pracy sił wewnętrznych zapisanej po prawej stronie.
ą ą ą
M�"M śą�ąźą T�"T śą�ąźą�"Ąą N�"N śą�ąźą
q q q
ą
1 �"�ąxA= ds�ą ds�ą ds
+" +" +"
EJ GA EA
s s s
Po podstawieniu wprowadzonych funkcji:
Ćą
2
ą
ą
1 �"�ąxA= �" �"r2 �"śą1-cos �ąźą2 r d �ą�ą
+"-1�"r śą1-cos �ąźą -q
śą źą
EJ 2
0
Ćą Ćą
2 2
ą ą
1 �"cos �ą
�ą �"śą-qźą�"r sin �ąśą1 -cos �ąźąr d �ą�ą �"q cos �ą�"rśą1 -cos �ąźąr d �ą
+"-1 �"sin �ą�"Ąą +"
GA EA
0 0
Dalej porządkujemy zapis:
Ćą Ćą Ćą
2 2 2
Ąą q r2
r4 q q r2�"cos �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą
2
ą
1 �"�ąxA= �"śą1-cos �ąźą3 d �ą�ą �"sin2 �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą�ą
+" +" +"
2 EJ GA EA
0 0 0
wartości stałe wyciągamy przed znak całki:
Ćą Ćą Ćą
2 2
Ąą q r2 2
qr4 q r2
�ąxA= śą1-cos �ąźą3 d �ą�ą sin2 �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą�ą cos2 �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą
+" +" +"
2 EJ GA EA
0 0 0
Pozostaje nam tylko rozwiązać całki w poszczególnych wyrażeniach i podstawić wartości. Dla
uproszczenia zapisu rozwiążemy najpierw całki powyższych członów jako nieoznaczone, a wyniki umieścimy
w granicach oznaczonych we wzorze ostatecznym.
śą1-cos �ąźą3 d �ą= śą1-cos �ąźąśą1-2 cos �ą�ącos2 �ąźąd �ą=
+" +"
= śą1-2 cos �ą�ącos2 �ą-cos �ą�ą2 cos2 �ą-cos3 �ąźąd �ą=
+"
=3 cos2 �ą d �ą-+" +" +" +"
cos3 �ą d �ą-3 cos �ą d �ą�ą d �ą=3 cos2 �ą d �ą-+"
cos3 �ą d �ą-3 sin �ą�ą�ą
+"
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 19
Pozostały nam do obliczenia dwie całki. Obliczmy je osobno i podstawimy do powyższego zapisu.
Ponieważ:
cos 2 �ą=cos2 �ą-sin2 �ą �! cos2 �ą=cos 2 �ą�ąsin2 �ą �!
1 �ącos2 �ą
�! cos2 �ą=cos2 �ą�ą1-cos2 �ą �! cos 2 �ą=
2
to:
cos2 �ą
1 1 1
cos2 �ą d �ą= d �ą�ą d �ą= �ą�ą sin2 �ą
+" +" +"
2 2 2 4
cos2 �ą=u �! du=-2 sin �ą cos �ą
cos3 �ą d �ą= cos �ą�"cos2 �ą d �ą �! =
+" +"
%" %"
dv=cos �ą d �ą �! v=sin �ą
2
t=sin �ą
=sin �ą cos2 �ą�ą2 sin2 �ą�"cos �ą d �ą �! =sin �ą cos2 �ą�ą sin3 �ą
+"
%" %" 3
dt=cos �ą d �ą
Zatem poszukiwana wartość całki nieoznaczonej:
śą1-cos �ąźą3 d �ą=3 cos2 �ą d �ą-+"
cos3 �ą d �ą-3 sin �ą�ą�ą=
+" +"
1 1 2
=3 �ą�ą sin2 �ą - sin �ą cos2 �ą�ą sin3 �ą -3 sin�ą�ą�ą=
śą źą śą źą
2 4 3
5 3 2
= �ą�ą sin 2 �ą-sin �ą cos2 �ą- sin3 �ą-3 sin�ą
2 4 3
Dwie pozostałe całki z równania pracy wirtualnej nie są już skomplikowane i można je obliczyć na
podstawie powyższych rachunków. Przedstawmy więc ostateczną postać równania pracy wirtualnej dla
przemieszczenia poziomego.
Ćą
qr4 5 3 2
2
�ąxA= �ą�ą sin 2 �ą-sin�ą cos2 �ą- sin3 �ą-3 sin �ą �ą
śą źą
#"
2 EJ 2 4 3
0
Ćą Ćą
Ąą q r2 �ą sin �ą cos �ą 2 q r2 2 2
�ą sin2 �ą
1
�ą - - sin3 �ą �ą �ą -sin�ą cos2 �ą- sin3 �ą
śą źą śą źą
#" #"
GA 2 2 3 EA 2 4 3
0 0
Po uporządkowaniu otrzymujemy wzór:
5 Ćą Ąąq r2 Ćą Ćą
qr4 -11 �ą 1 q r2 2
�ąxA= - �ą -
śą źą śą źą śą źą
2 EJ 4 3 GA 4 3 EA 4 3
Podstawmy teraz parametry przekroju i wartość obciążenia:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 20
10 �"10 �"5
2
5 Ćą Ćą
10 �"5 4 9
�ąxA= �" -11 �ą �" -1 �ą
śą źą śą źą
4 3
2 �"205 �"10 6�"0,785398 �"10 -4 4 3 76875 �"10 3 �"0,0314159
Ćą
10 �"5 2 �" -2
�ą
śą źą
4 3
205 �"10 6 �"0,0314159
�ąxA=0,19409�"0,260 �ą0,0000115�"0,452 �ą0,0000388 �"0,1187 =0,0504634 �ą0,000005198 �ą
�ą0,000004605=0,05047 [m]
Zauważmy, że pierwszy człon w powyższym wyrażeniu jest największy. Jest to wpływ momentu
zginającego, który stanowi 99% końcowego efektu przemieszczenia.
Siła tnąca i normalna mają znikomy wpływ na przemieszczenia (z wyjątkiem kratownic, w których
działa tylko siła normalna i prętów ściskanych w układach nie kratowych). Dodatnia wartość wyniku mówi, że
przemieszczenie ma taki zwrot jaki założyliśmy.
Kolejnym zadaniem jest wyznaczenie składowej pionowej przemieszczenia punktu A w łuku. W tym
celu przykładamy wirtualne obciążenie pionowe. Różnica będzie tylko w rzutach siły wirtualnej na kierunki x'
i y'.
1 sin ą
1
1 cos ą
1 [-]
ą
x x
A
A
ą
y
y
Tą
Ną
Mą
r =5 [m]
y'
x'
ą ą
0
Rozpiszemy równanie równowagi:
y '=0
"
ą�ą ą
T =-1 �"cos �ą
x '=0
"
ą
ą�ą=-1 �"sin �ą
N
M =0
"
�ą-�ą
ą ą
ą�ą=-1 �"x=-1 �"r sin �ą
M
Po podstawieniu do równania pracy wirtualnej:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 21
ą ą ą
M�"M śą�ąźą T�"T śą�ąźą�"Ąą N�"N śą�ąźą
q q q
ą
1 �"�ąyA= ds�ą ds�ą ds
+" +" +"
EJ GA EA
s s s
funkcji sił wirtualnych i rzeczywistych, otrzymujemy równanie:
Ćą
2
ą
r sin
ą
1 �"�ąyA= �" �"r2 �"śą1-cos �ąźą2 r d �ą�ą
+"-1�"EJ �ą -q
śą źą
2
0
Ćą Ćą
2 2
ą ą�"sin
cos
�ą �"śą-qźą�"r sin�ąśą1 -cos �ąźąr d �ą�ą �"q cos �ą�"r śą1 -cos �ąźąr d �ą
+"-1 �"GA �ą�"Ąą +"-1 EA �ą
0 0
Następnie upraszczamy je:
Ćą Ćą
2
Ąą q r2 2
qr4
�ąyA= sin�ąśą1-cos �ąźą2 d �ą�ą sin�ą cos �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą-
+" +"
2 EJ GA
0 0
Ćą
2
q r2
- cos �ą sin�ą�"śą1-cos �ąźąd �ą
+"
EA
0
i wyciągamy stałe przed znak całki:
Ćą Ćą
2
Ąą q r2 2
qr4 q r2 sin�ą cos �ą�"śą1-cos �ąźąd �ą
�ąyA= sin�ąśą1-cos �ąźą2 d �ą�ą - +"
+"
śą źą
2 EJ GA EA
0 0
Rozwiążmy całki powyższego równania i wstawmy je do wyrażeń w odpowiednich granicach tak jak to
robiliśmy w poprzednim punkcie zadania.
cos2 �ą cos3 �ą
sin �ąśą1 -cos �ąźą2 d �ą= sin �ą-2 sin �ą cos �ą�ąsin �ą cos2 �ą d �ą=-cos �ą�ą -
+" +"
2 3
-cos2 �ą cos3 �ą
sin �ą cos �ąśą1 -cos �ąźąd �ą= sin �ą cos �ą-sin �ą cos2 �ą d �ą= �ą
+" +"
2 3
Rozwiązania wstawiamy do wyrażenia na przemieszczenie:
Ćą Ćą
4
2 2
cos3 �ą Ąą q r2
q r2 -cos2 �ą cos3 �ą
�ąyA=-qr cos �ą-cos2 �ą�ą �ą - �ą
śą źą śą źąśą źą
#" #"
2 EJ 3 GA EA 2 3
0 0
i dalej obliczamy wartości w granicach całkowania:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 22
Ąą
1 q r4 1 q r2 1
�ąyA= �ą -
śą źąśą źąśą źą
6 EJ G E A 6
Po uwzględnieniu danych początkowych otrzymujemy wartość przemieszczenia:
10 1 10 �"5 2 �" 1
�ąyA=0,19409 �"1 �ą - =
śą źą
śą źą
śą źą
3
9 �"76875 �"10 3 205 �"10 6 0,0314159 6
=0,06469 śą6źą�ąśą9 �"10 -9źąśą1326,292313źą=0,06469 śą6 źą�ą0,000011936 =0,0647 [m]
Pozostała nam do obliczenia ostatnia składowa przemieszczenia przekroju A a mianowicie kąt obrotu.
W celu obliczenia tej wielkości, przykładamy w tym przekroju jedynkowy moment skupiony.
1
M =1 [- ]
x
x
A A
ą
y
y
Tą
Ną
Mą
r =5 [m]
y'
x'
ą ą
0
Zauważmy, że funkcje siły normalnej i poprzecznej nie wystąpią w wyrażeniu opisującym pracę
wirtualną. Wystąpi tylko moment skupiony będący taki sam na całej długości łuku.
M �ąą
1=0
�ą
M =-ą [-]
1
�ą
W wyrażeniu na pracę wirtualną
ą ą ą
M�"M śą�ąźą T�"T śą�ąźą�"Ąą N�"N śą�ąźą
q q q
ą
1 �"�ąA= ds�ą ds�ą ds
+" +" +"
EJ GA EA
s s s
znikną człony opisujące wpływ siły normalnej i tnącej. Otrzymamy zatem równanie:
ą
M�"M śą�ąźą
q
ą
1 �"�ąA= ds
+"
EJ
s
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 23
do którego podstawiamy funkcje momentu wirtualnego i rzeczywistego
Ćą
2
śą-ąźą�"śą-qźą�"r2 śą1 -cos �ąźą2
1
ą
1 �"�ąA= r d �ą
+"
2 EJ
0
Podzielmy całe to równanie przez jedynkę wirtualną jeszcze przed rozpisaniem go, czyli po prostu nie
piszmy tej wielkości w poniższych obliczeniach.
Ćą Ćą
2 2
q�"r2 śą1 -cos �ąźą2
q r3
�ąA= r d �ą= 1 -2 cos �ą�ącos2 �ą d �ą=
+" +"
2 EJ 2 EJ
0 0
Ćą
3Ćą
q r3 1 1 qr3 -2
2
= �" �ą-2 sin�ą�ą �ą�ą sin2 �ą =
śą źą śą źą
#"
2 EJ 2 4 2 EJ 4
0
Następnie uwzględniamy parametry wyjściowe i otrzymujemy wynik:
3Ćą
�ąA=0,038818�" -2 =0,013826 [rad ]=0,79 [deg ]
śą źą
4
Przykład 5
Dla kratownicy przedstawionej na rysunku 5.20 obliczyć przemieszczenie pionowe punktu m oraz
wzajemne zbliżenie punktów j i k, korzystając z metody pracy wirtualnej. Przemieszczenia wywołane są
działaniem siły P [kN].
Dane:
EA=const
sin ą=0,8
cos ą=0,6
G1
G2 G3 P [kN]
j
4,0 S1 S2 S3
S4
D1 D2 D3
ą
A
B
m
k
3,0 3,0 3,0
[m]
Rys. 5.20. Zadana kratownica
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
K
1
3
2
K
K
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 24
W kratownicy tej sztywność prętów EA jest stała, nie występują także siły tnące i momenty zginające w
prętach (wynika to z definicji kratownicy). Pręty pasa górnego oznaczono literą G, pasa dolnego  D,
krzyżulce  K oraz słupki jako S. Spójrzmy, jak będzie wyglądało ogólne równanie pracy wirtualnej dla
prętów powyższej kratownicy:
śą jźą
ą
N N
j P
ą
1 �"�ą = ds
"+"
i
EA
j
s j
Wynika z tego, że obliczenie przemieszczenia punktu sprowadza się do pomnożenia siły od obciążenia
wirtualnego w danym pręcie przez siłę panującą w tym pręcie wywołaną obciążeniem rzeczywistym i długości
tego pręta. Następnie sumujemy wszystkie iloczyny i dzielimy wynik przez sztywność EA. Otrzymana
wielkość jest rzeczywistym przemieszczeniem danego punktu.
Licząc siły w prętach, będziemy zakładali rozciąganie (wynik ze znakiem minus oznacza więc ściskanie
w pręcie). Wyznaczmy siły powstałe na skutek działania obciążenia zewnętrznego P:
-P -P P [kN]
O
O O
O O
O
HA=P [kN] -0,5 P -0,5 P
O
RA=0,(6) P [kN] RB=0,(6) P [kN]
Obliczmy reakcje podporowe:
Y : RA=RB
"
M : RB�"6,0 -P�"4,0 =0
"
A
RB=RA=0,6 [kN ]
Wyznaczmy siły w poszczególnych prętach:
" Siły w prętach: S , S , S , S , D , K , G  będą zerowe (wynika to z równowagi więzów).
1 2 3 4 3 3 1
" Siły w prętach G i G będą równe co do wartości sile P i będą to siły ściskające. Obliczmy teraz siły w
2 3
prętach K i K :
1 2
Y : K sin �ą=-K sin �ą
"
1 2
RA�ąK1 sin �ą=0
K1=-0,83śą3źą�"P
K =0,83śą3źą�"P
2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
0
P
,
8
)
(
3
3
(
)
8
,
P
0
-
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 25
Pręt K jest ściskany, natomiast pręt K jest rozciągany. Sprawdz
my równowagę węzła G - G :
1 2 1 2
-P�ą2 �"0,83śą3źą P�"cos �ą=0
Pozostaje nam obliczyć jeszcze siły w prętach D i D :
1 2
X : D1=D2
"
-D2-K2 cos �ą=0
D2=D1=-0,5 P
W prętach D i D występuje ściskanie.
1 2
Obliczmy zatem przemieszczenie pionowe punktu m. Przykładamy w tym punkcie siłę wirtualną
skierowaną pionowo i obliczamy reakcje podporowe i siły w prętach wywołane działaniem tej siły. Jest to
ukazane na poniższym rysunku, zwróćmy uwagę na bezwymiarową wartość sił w prętach i podporach.
O O O
O
O O
O
1
HA=0 [-]
0,375 0,375
O
m
1 [-]
RA=0,5 [-] RB=0,5 [-]
Z symetrii układu wynika, że reakcje R = R = 0,5 [-]; D =D ; K =K . Z równowagi węzła m wynika,
A B 1 2 1 2
że siła w pręcie S =1 [-]. Obliczmy więc siły w prętach K i D :
1 1 1
Y : RA�ąK1 sin�ą=0
"
K1=K =-0,625 [ - ]
2
X : D1 -K1 cos �ą=0
"
D1=D2=0,375 [ - ]
Obliczmy więc wartość przemieszczenia pionowego punktu m:
1
ą
1 �"�ą= [-0,625 �"śą-0,8333 Pźą�"5,0-0,625 �"0,8333 P�"5,0 �ą1 �"0 P�"4,0-
EA
-2 �"śą0,375 �"0,5 P�"3,0 źą =-1,125 P [m]
]
EA
Ujemny znak wyniku oznacza, że punkt m dozna przemieszczenia w górę (uniesie się). W następnym
przykładzie nie będziemy uwzględniali prętów zerowych w siłach rzeczywistych i wirtualnych (w powyższym
zadaniu uwzględniliśmy iloczyn siły słupka zerowego (S ) z układu rzeczywistego i wirtualnego).
2
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
-
0
5
,
6
2
2
6
,
5
0
-
Część 1 5. TEMPERATURA, OSIADANIA PODÓR I BA

DY MONTAŻU W RÓWNANIU... 26
Przejdz
my do wyznaczenia wzajemnego zbliżenia punktów j i k. W celu wyznaczenia wzajemnego
zbliżenia punktów musimy przyłożyć siły jedynkowe na linii łączącej te dwa punkty, skierowane do siebie.
Wynik ujemny interpretujemy jako wzajemne oddalenie tych punktów (rys. 5.21).
1 [-]
-0,9138 [-] -0,3046 [-] -0,3046 [-]
j
O -0,4061 [-]
-0,4061 [-] O
HA=0 [-]
1 [-]
-0,3046 [-] -0,3046 [-] -0,9138 [-]
k
RA=0 [-] RB=0 [-]
Jest to układ przeciwnie skierowanych sił, co daje zerowe reakcje podporowe. Z równowagi więzów
wynika, że siły w słupkach S i S są zerowe, a co za tym idzie siła w pręcie K będzie równa co do wartości
2 3 2
sile w pręcie K i K , lecz przeciwnie skierowana.
3 1
Dane:
sin ąą=0,4061
cos ąą=0,9138
Wyznaczmy teraz siły w poszczególnych prętach (zwróćmy też uwagę na symetrię układu, która jest
nam bardzo pomocna).
X :-1 cos ąą-D3=0
"
D3=G1=-0,9138
Y : S4 �ą1 sin ąą=0
"
S4=S1=-0,4061
Y : S4-K sin �ą=0
"
3
K3=K1=0,5076 K =-0,5076
2
X :-G3-K3 cos �ą=0
"
G3=G2=D1=D2=-0,3046
Możemy teraz przystąpić do obliczenia szukanego przemieszczenia:
1
ą
1 �"�ą= [2 �"śą-Pźą�"śą-0,3046 źą�"3,0�ą2 �"śą-0,5 Pźą�"śą-0,3046 źą�"3,0-0,8333 P�"0,5076 �"5,0 �ą
EA
�ą0,8333 P�"śą-0,5076 źą�"5,0 ]=-2,097 P
EA
Zatem punkty j i k oddalą się od siebie.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
-
0
,
5
]
]
0
-
-
[
7
[
6
6
6
7
7
[
0
-
0
]
5
5
,
,
0
0