10. Dobór regulatorów
10. DOBÓR REGULATORÓW
Ogólne kryteria doboru typu regulatora.
Ogólnie sygnał wyjściowy regulatora ma trzy składowe:
- składową proporcjonalną P;
- składową całkującą I;
- składową różniczkującą D.
Składową proporcjonalną nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora
proporcjonalną do sygnału uchybu. Składowa ta powoduje przeważnie zmniejszenie
błędów statycznych, a więc w stanach ustalonych polepsza się dokładność pracy układu. W
szczególności układ lepiej odtwarza sygnał sterujący i lepiej kompensuje działanie
zakłóceń. Wpływa na zmniejszenie czasu regulacji.
Składową całkującą nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora będącą całką z
sygnału uchybu. Powoduje ona zwiększenie klasy układu, a więc likwiduje błędy
statyczne. W stanach ustalonych układ całkowicie odtwarza układ sterujący i całkowicie
kompensuje działanie zakłóceń. Ujemnym skutkiem samej składowej całkującej jest
znaczne wydłużenie czasu regulacji.
Składowa różniczkująca jest pochodną z sygnału uchybu. Składowa ta występuje
jedynie w stanach przejściowych a zanika w stanach ustalonych. Powoduje skrócenie czasu
regulacji przez przyspieszenie początkowej fazy procesu przejściowego.
Dobór typu regulatora
Tabela 10.1.
Lp. Przewidywany skutek działania układu Typ regulatora
1 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na Regulator P
skokowy sygnał sterujący lub zakłócający K
2 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na Regulator PI
skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
K
K +
Wydłużenie czasu regulacji
Ti s
3 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na Regulator PD lub
skokowy sygnał sterujący i zakłócający; człon korekcyjny PD
Skrócenie czasu regulacji
K(Td s + 1)
4 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na Regulator PID
skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
KìÅ‚1 + Td s +
Skrócenie czasu regulacji
÷Å‚
Ti s
íÅ‚ Å‚Å‚
Regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych
częstotliwościach.
Regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, ale z gorszą jakością
regulacji przy małych częstotliwościach. Akcja różniczkująca wzmacnia również wszelkie
szumy przetwornika pomiarowego, a ponadto przynosi niewielkie korzyÅ›ci dla Ä/T > 0,5
Regulatory dzielimy na idealne i rzeczywiste. Idealne sÄ… zbudowane na
wzmacniaczach a rzeczywiste na elementach RLC i nazywane są członami korekcyjnymi.
W poniższej tabeli zestawiono podstawowe typy regulatorów.
142
10. Dobór regulatorów
Tabela 10.2.
Typ Schemat Impedancja Impedancja Transmitancja i wartości
wejściowa wyjściowa współczynników
P
R2
R2
R1 R2 - K ; K =
R1
R1
PI
C
R2 R2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 R2
C1
ìÅ‚ ÷Å‚
R1 + R2 - KìÅ‚1+ ; K = ; Ti = R2C
R1 ÷Å‚
Tis R1
Cs
íÅ‚ Å‚Å‚
R1
PD
R2
R1
- K(Td s + 1); K = ; Td = R1C1
R2
R1
C1R1s + 1
PID
ëÅ‚ öÅ‚ R1C1 + R2C2
1
ìÅ‚ ÷Å‚
R2 C2 - KìÅ‚1+ + Td s÷Å‚ ; K =
C1
R1 R2C2s + 1
Ti s R1C2
íÅ‚ Å‚Å‚
C1R1s + 1 C2s
R1R2 C1C2
R1
Ti = R1C1 + R2C2 ; Td =
R1C1 + R2C2
Aby móc dokonać wyboru regulatora, należy mieć choćby przybliżone wartości obiektu
regulacji:
a) zidentyfikować obiekt
K
- statyczny Go (s)= e-Äs
Ts +1
xst
Ä
T
Rys. 10.1
K
- astatyczny Go(s)= e-Äs
Ts
xst
Ä
T
Rys. 10.2
Ä
b) dla < 0,2 można zastosować regulator dwupołożeniowy (lub ciągły);
T
143
10. Dobór regulatorów
Ä
dla < 1 należy zastosować regulator o działaniu ciągłym;
T
Ä
dla > 1 należy zastosować regulator impulsowy.
T
Ä
Najczęściej wystÄ™puje = 0,2÷0,7, w zwiÄ…zku z czym regulatory PID o dziaÅ‚aniu
T
ciągłym są najpopularniejsze w przemyśle. Dla nich bazując na odpowiedzi obiektu na
wymuszenie skokowe jak na rysunku 10.1 i 10.2 bez podłączonego sprzężenia
zwrotnego, jeżeli istnieje taka możliwość, otrzymujemy dla struktury regulatora
następujące wartości nastaw:
T
P Kr = (0,57 ÷ 0,7)
KÄ
T
PI Kr = 0,7 , Ti = Ä + 0,3 T
KÄ
T
PID Kr = 1,2 , Ti = 2 Ä , Td = 0,4 Ä
KÄ
Metoda ta minimalizuje czas regulacji, a przeregulowanie nie przekracza 20%.
c) wśród wielu metod suboptymalnych doboru parametrów regulatora największe
praktyczne znaczenie posiada metoda Zieglera - Nicholsa która, minimalizuje całkę
I1m. Polega ona na tym, że obiekt sterowany jest przez regulator nastawiony na
działanie proporcjonalne (P), ostrożnie zwiększając współczynnik wzmocnienia aż
do wartości Kgr dochodzimy do granicy stabilności (wystąpią oscylacje o okresie Tosc),
stąd otrzymujemy dla struktury regulatora następujące wartości nastaw:
P Kr = 0.5 Kgr
PI Kr = 0.45 Kgr, Ti = 0.85 Tosc
PID Kr = 0.6 Kgr, Ti = 0.5 Tosc, Td = 0.12 Tosc
Istnieje również zmodyfikowana metoda Zieglera - Nicholsa uwzględniająca czas
próbkowania T, w której określa się nastawy regulatorów wg wzorów:
Kr
T
PI Kr= 0.45 Kgr (1 - 0,6 ) , Ti = 1,85 Tosc
Tosc K
gr
K
Kr
T
gr
PID Kr = 0.6 Kgr (1 - ) , Ti = 0,83 Tosc , Td = 0,075 Tosc
Tosc K Kr
gr
10.1. Regulatory liniowe w układach regulacji
Przykład 10.1.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora P poddanego
dziaÅ‚aniu skokowego sygnaÅ‚u uchybu µ(t) = A1(t). Funkcje przejÅ›cia regulatora maja
postać.:
Gr id(s) = Kr
Kr
Gr rz (s)=
Ts + 1
Dane liczbowe:
Kr = 5 [V/V]
144
10. Dobór regulatorów
T = 0,1 [s]
A = 0,3 [V]
Idealny regulator P zachowuje się tak jak człon proporcjonalny. Charakterystykę
czasową takiego członu przedstawia zależność
µr id(t) = AKr = 1,5 [V]
Rzeczywisty regulator P zachowuje się tak jak człon inercyjny pierwszego rzędu.
Charakterystykę takiego członu przedstawia zależność
t
ëÅ‚ - öÅ‚
T
÷Å‚
µ (t)= AKr ìÅ‚1 - e =1,5(1 - e-10t )[V]
r rz
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.3, z którego wynika, że
działanie regulatora rzeczywistego pokrywa się z działaniem idealnego dopiero po upływie
czasu równego czterem stałym czasowym.
µr [V]
µr id
µr rz
1,0
t [s]
Rys. 10.3
Przykład 10.2.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora PID, poddanego
dziaÅ‚aniu skokowego sygnaÅ‚u uchybu µ = A1(t). Funkcje przejÅ›cia regulatora majÄ… postać:
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
Gr id (s)= Kr ìÅ‚1 + Td s +
÷Å‚
Ti s
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Kr ìÅ‚1 Td s 1
÷Å‚
Gr rz (s)= + +
÷Å‚
Td
Ts + 1ìÅ‚ Ti s
s + 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…d
íÅ‚ Å‚Å‚
Dane liczbowe:
A = 0,5 [V]
Kr = 1,0 [V/V]
Td = 0,4 [s]
Ti = 4 [s]
T = 0,2 [s]
Ä…d = 10
CharakterystykÄ™ czasowÄ… regulatora idealnego wyznaczymy ze wzoru
îÅ‚ Å‚Å‚
t
µ (t)= AKr ïÅ‚1 + Td´ (t)+ = 0,5[1 + 0,4´ (t)+ 0,25t][V]
r id
Ti śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Dla wyznaczenia charakterystyki regulatora rzeczywistego zapiszemy jego funkcjÄ™
przejścia w postaci
145
10. Dobór regulatorów
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Kr Kr ìÅ‚1 Td s
÷Å‚
Gr rz (s)= + +
ìÅ‚
Td ÷Å‚
Ti s(Ts + 1) Ts + 1
s + 1÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
Ä…d Å‚Å‚
íÅ‚
Pierwszy składnik powyższej sumy jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora I,
drugi składnik jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora PD, w związku z tym z
zasady superpozycji otrzymamy
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…d t
t ïÅ‚ t
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ - öÅ‚ - Td - Td śł
Td
T t
ìÅ‚
T
śł
ìÅ‚1 T ÷łśł
µ (t)= AKr - - e + AKr ïÅ‚1 + -1÷Å‚e - e =
ïÅ‚
r rz
÷łśł ïÅ‚ ìÅ‚
Td ÷Å‚ Td śł
Ti ïÅ‚T ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
T
ìÅ‚ - T -
÷Å‚
ïÅ‚ śł
ìÅ‚
Ä…d ÷Å‚ Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚ d
ðÅ‚ ûÅ‚
= 0,025[5t - (1 - e5t )]+ 0,5[1 + 1,5e-5t - 2,5e-25t ]
Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.4.
µr [V]
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
t [s]
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Rys. 10.4
10.2. Synteza parametryczna regulatorów
Przykład 10.4.
Dany jest układ regulacji, którego schemat blokowy sprowadzono do postaci
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym (rys.10.5.).
C(s)
R1(s)
KK
z
Gr(s)
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
-
Rys. 10.5
Dobrać wartości stałych czasowych następujących regulatorów, przeznaczonych do
współpracy z obiektem regulacji występującym w schemacie blokowym:
146
10. Dobór regulatorów
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
a) regulatora PI Gr (s)= Kr ìÅ‚1 +
÷Å‚
Ti s
íÅ‚ Å‚Å‚
Ti s + 1
b) członu korekcyjnego PI Gr (s)= Kr
Ä…Ti s + 1
c) regulatora PD Gr (s)= Kr (Td s + 1)
Kr Td s + 1
d) członu korekcyjnego PD Gr (s)=
Ä… Td
s + 1
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
e) regulatora PID Gr (s)= Kr ìÅ‚1 + Td s +
÷Å‚
Ti s
íÅ‚ Å‚Å‚
(Ti s + 1)(Td s + 1)
f) członu korekcyjnego PID Gr (s)= Kr
öÅ‚
(Ä…Ti s + 1)ëÅ‚ Td s + 1
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyjąć wartości stałych czasowych i wzmocnień obiektu regulacji
T1 = 0,5 [s]
T2 = 1 [s]
T3 = 2 [s]
KKZ = 5
Kryteria stosowane dla oceny jakości pracy oraz dla syntezy układów regulacji można
podzielić na dwie grupy:
1. Kryteria pozwalające na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia i stałych
czasowych regulatora, mianowicie:
- kryterium optymalnego modułu,
- całkowy wskaz
nik jakości.
2. Kryteria pozwalające tylko na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia
regulatora, mianowicie:
- kryterium amplitudy rezonansowej w zastosowaniu do nomogramów Halla
i Blacka,
- kryterium zapasu wzmocnienia i fazy,
- kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków,
- kryterium stabilności aperiodycznej,
- całkowy wskaz
nik jakości zastosowany w sposób uproszczony.
W związku z powyższym, w przypadku zastosowania któregokolwiek kryterium
z drugiej grupy, należy wstępnie i możliwie dobrze przyjąć wartości stałych czasowych
regulatora. Zasady doboru tych stałych, mające uzasadnienie praktyczne są przedmiotem
tego zadania.
1. Stała czasowa regulatora PI
Rozważmy funkcję przejścia w układzie otwartym skorygowanym, zapisaną
w postaci:
Kr KK Ti s + 1
Z
H(s)G(s)= Gr (s)Gob (s)=
Ti s(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
O niezadowalających własnościach dynamicznych układu regulacji w dużym stopniu
decydują duże stałe czasowe mianownika funkcji przejścia w układzie otwartym. Można
147
10. Dobór regulatorów
zatem postarać się o skompensowanie działania największej z tych stałych drogą doboru
odpowiedniej stałej Ti. Matematycznie kompensacja sprowadza się do skracania
identycznych wielomianów zmiennej s w liczniku i mianowniku funkcji przejścia w
układzie otwartym. Można zatem napisać:
Ti = Tmax mianownika obiektu
W rozpatrywanym przypadku mamy
Ti = T3 = 2 [s]
a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać
Kr KK 1 5 1
z
H(s)G(s)= = K
r
Ti s(T1s +1)(T2s +1) 2 s(0,5s +1)(s +1)
2. Stałe czasowe członu korekcyjnego PI
Wez
my pod uwagę funkcje przejścia w układzie otwartym skorygowanym
Ti s + 1
H(s)G(s)= Kr KK
z
(Ä…Ti s + 1)(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
Zadaniem członu korekcyjnego PI jest zastąpienie regulatora PI, a więc przybliżona
realizacja działania proporcjonalno-całkującego. Jest ono wykonalne wtedy, gdy stała
czasowa ąTi jest odpowiednio duża w porównaniu z pozostałymi stałymi czasowymi
obiektu, czyli gdy
Ä…Ti >> Tmax mianownika obiektu
Warunek ten pozwala na uproszczony zapis funkcji przejścia w układzie otwartym
Kr KK Ti s +1
z
H(s)G(s)H"
Ä…Ti s(T1s +1)(T2s +1)(T3s +1)
Praktyczne zastosowanie wymienionego wyżej warunku, dla zbyt dużej wartości stałej Ti,
może doprowadzić do nadmiernego wydłużenia czasu regulacji. Ze względu na ten czas
należałoby się posłużyć warunkiem przeciwnym
Ä…Ti << Tmax mianownika obiektu
DecydujÄ…c siÄ™ zatem na kompromisowe rozwiÄ…zanie problemu przyjmujemy
Ä…Ti = 5Tmax mianownika obiektu
Ponadto, przybliżone działanie całkujące uwidacznia się wtedy, gdy stałe ąTi oraz Ti różnią
się znacznie od siebie. Ten kolejny warunek realizuje się przyjmując najczęściej
Ä… = 10
Tak więc w rozpatrywanym przypadku otrzymamy
Ä…Ti = 5T3 = 10 [s]
czyli
Ti = 1 [s]
a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać
Ti s + 1
H(s)G(s)= Kr KK =
z
(Ä…Ti S + 1)(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
1
= 5Kr
(10s + 1)(0,5s + 1)(2s + 1)
3. Stałe czasowe regulatora PD
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym jest obecnie równa
Td s + 1
H(s)G(s)= Kr KK
z
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
Kompensujące działanie regulatora wystąpi wyraz
nie, gdy jego stałą czasową dobierzemy
tak jak da regulatora PI
Td = Tmax mianownika obiektu
148
10. Dobór regulatorów
Tak więc otrzymamy
Td = T3 = 2 [s]
oraz
1 1
H(s)G(s)= Kr KK = Kr Å"5
z
(T1s +1)(T2s +1) (0,5s +1)(s +1)
W analogiczny sposób można dobrać stałą czasową regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku ąd.
4. Stałe czasowe członu korekcyjnego PD
Funkcja przejścia w układzie otwartym ma postać po korekcji
Kr KK Td s + 1
z
H(s)G(s)=
Ä… ëÅ‚ öÅ‚
Td
ìÅ‚ s + 1 (T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
÷Å‚
Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
Kompensujące działanie członu korekcyjnego wystąpi wyraz
nie przy takim samym
warunku jak dla regulatora PD
Td = Tmax mianownika obiektu
Ponadto przybliżone działanie różniczkującego członu uzyskamy wtedy, gdy stała czasowa
Td będzie możliwie mała. Warunek ten osiąga się przyjmując najczęściej
Ä…
Ä… = 10
Tak więc otrzymamy
Td = T3 = 2 [s]
Td Ä… = 0,2 [s]
oraz
KK 1
H(s)G(s)= Kr z =
Ä… ëÅ‚
Td
ìÅ‚ s + 1öÅ‚(T1s + 1)(T2s + 1)
÷Å‚
Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
5 1
= Kr
10 (0,2s + 1)(0,5s + 1)(s + 1)
5. Stałe czasowe regulatora PID
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
H(s)G(s)= Kr KK + Td s +
z
ìÅ‚1 ÷Å‚
Ti s (T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
íÅ‚ Å‚Å‚
lub po sprowadzeniu do wspólnego mianownika
Kr KK TiTd s2 +Ti s +1
z
H(s)G(s)=
Ti s(T1s +1)(T2s +1)(T3s +1)
Praktyczne zastosowania regulatorów PID oraz dobór ich stałych czasowych np. metodą
modelowania analogowego prowadzą do wniosku, że między stałymi czasowymi powinna
zachodzić nierówność
Ti > Td
Dla przeprowadzenia rozkładu trójmianu kwadratowego w liczniku H(s)G(s) na czynniki
pierwszego stopnia zapiszemy tę nierówność w postaci
Ti = ²Td
gdzie: ² > 1
149
10. Dobór regulatorów
Wtedy otrzymamy
²Td2s2 + ²Td s +1 = 0
Wyróżnik ma zatem postać
2
" = ² Td2 - 4²Td2 = Td2 ²(² - 4)
Mając na uwadze kompensację największej stałej czasowej mianownika H(s)G(s) za
pomocÄ… rzeczywistego czynnika w liczniku, rozważymy tylko te wartoÅ›ci ², dla których
" e" 0. W związku z tym rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego będą równe
- ² - ²(² - 4)
s1 =
2²Td
- ² + ²(² - 4)
s2 =
2²Td
przy czym
² e" 4
Wobec tego otrzymamy następujący wynik rozkładu na czynniki:
²Td2s2 + ²Td s +1 = ²Td2 (s - s1 )(s - s2 )= ²Td2 (- s1)(- s2 )(Tr1s +1)(Tr 2s +1)=
= (Tr1s +1)(Tr 2s +1)
2²Td
1
gdzie: Tr1 = - = = Å‚ Td
s1 ² + ²(² - 4) 1
2²Td
1
Tr 2 = - = = Å‚ Td
s2 ² - ²(² - 4) 2
Wyniki obliczeÅ„ współczynników Å‚1 i Å‚2 dla kilku wartoÅ›ci ² zebrano w tabeli 10.3.
Tabela 10.3.
² 46810
Å‚1 2 1,27 1,17 1,13
Å‚2 2 4,73 6,83 8,87
Aby w układzie skorygowanym nie zostawiać dużych stałych czasowych,
wpływających na wydłużenie czasu regulacji, do korekcji wykorzystamy stałą czasową Tr2
wynikającą z dużej wartości współczynnika ł2. W związku z tym przyjmiemy następującą
regułę doboru stałych czasowych regulatora.
8,87 Td = Tmax mianownika obiektu
Ti = 10 Td
Reguła ta pozwoli na zapisanie funkcji przejścia regulatora w postaci
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
Gr (s)= Kr ìÅ‚1 + Td s + = Kr (1,13Td s + 1)(8,87Td s + 1)
÷Å‚
Ti s 10Td s
íÅ‚ Å‚Å‚
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy:
T3
Td = = 0,22[s]
8,87
Ti =10Td = 2,2[s]
Wtedy funkcja przejścia regulatora będzie równa
Kr
Gr (s)= (0,25s +1)(2s +1)
2,2s
150
10. Dobór regulatorów
Wobec tego funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym przyjmie ostateczną
postać
Kr KK (0,25s +1)
z
H(s)G(s)=
2,2 s(0,5s +1)(s +1)
W analogiczny sposób można dobrać stałe czasowe regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku ąd.
6. Stałe czasowe członu korekcyjnego PID
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma obecnie postać
(Ti s + 1)(Td s + 1)
H(s)G(s)= Kr KK
z
(Ä…Ti s + 1)ëÅ‚ Td s + 1öÅ‚(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
Przed przystąpieniem do doboru stałych czasowych uszeregujemy dominujące stałe
czasowe mianownika w kolejności malejących wartości
Tmax1, Tmax2
na przykład
Tmax1 = 2 [s], Tmax2 = 1 [s]
MajÄ…c na uwadze kompensacjÄ™ dominujÄ…cego czynnika w mianowniku H(s)G(s)
i jednocześnie realizację przybliżonego działania całkującego, prowadzącego do co
najwyżej niedużych zmian czasu regulacji, przyjmiemy następujący sposób postępowania:
Td = Tmax1 mianownika obiektu
Ä…Ti = 5 Tmax2 mianownika obiektu
Ä… = 10
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy
Tmax1 = T3 = 2 [s]
Tmax2 = T2 = 1 [s]
a zatem
Td = T3 = 2 [s]
Ä…Ti = 5 T2 = 5 [s]
czyli
Ti = 0,5 [s]
Wobec czego funkcja przejścia będzie równa
(Ti s + 1)(Td s + 1)
H(s)G(s)= Kr KK =
z
(Ä…Ti s + 1)ëÅ‚ Td s + 1öÅ‚(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
1
= Kr Å" 5
(5s + 1)(s + 1)(0,2s + 1)
151