Ć w i c z e n i e 4
WYZNACZENIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO
ZA POMOC
WAHADA
A REWERSYJNEGO
4.1. Opis teoretyczny
Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne wahające się wokół poziomej osi obrotu O
pod wpływem siły ciężkości (rys. 4.1). Przy czym oś obrotu nie może pokrywać się z jego
środkiem ciężkości S (bo wówczas drganie by nie występowało). Okres drgań wahadła fi-
zycznego opisuje teoretycznie zależność :
I
T = 2 Ä„ (4.1)
m g a
gdzie: a - odległość między osią zawieszenia i środkiem ciężkości, I  moment bezwładności
wahadła
Chcąc na bazie powyższego wzoru wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie g należy oprócz
okresu drgań T i masy wahadła m , które można zmierzyć bezpośrednio, znać również wiel-
kości a i I , których pomiar jest kłopotliwy. Aby tych trudności uniknąć, w ćwiczeniu kon-
struujemy wahadło fizyczne o dwuch osiach obrotu (O1 , O2) umieszczonych po przeciwnych
stronach środka ciężkości S (rys. 4.2), ale takie aby okres drgań był taki sam dla obu
zawieszeń wahadła. Jest to tzw. wahadło rewersyjne.
Jeżeli punkt O1 (rys. 4.2) jest punktem zawieszenia, to okres wahań
I1
T1 = 2 Ä„ (4.2)
m g a
gdzie: I1  moment bezwładności wahadła względem osi O1
Analogicznie dla drugiej osi obrotu okres wahań
I2
T2 = 2 Ä„ (4.3)
m g b
gdzie: I2  moment bezwładności wahadła względem osi O2, b - odległość między drugą osią
zawieszenia a środkiem ciężkości
Na podstawie twierdzenia Steinera o momentach bezwładności wiemy:
I1 = IS + ma2 (4.4)
I2 = IS + m b2
gdzie IS jest momentem bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek
ciężkości.
Rys. 4.1. Wahadło fizyczne. Rys. 4.2. Dwuosiowe wahadło fizyczne.
2
I1 I2 IS + ma IS + mb2
Okresy T1 i T2 są równe wtedy = tzn. gdy = czyli, gdy zachodzi
a b a b
równość:
( b - a )( IS - mab ) = 0 (4.5)
Przypadek, gdy b=a nic nie mówi o wzajemnym położeniu osi O1 , O2 i może zajść, gdy
mamy ciało sztywne symetryczne. Natomiast z równania IS - mab = 0 mamy:
IS = m a b (4.6)
Po podstawieniu (4.4) i (4.6) do (4.2) otrzymujemy zależność:
2
IS + ma m a (b + a) (b + a) lzr
T = T1 = T2 = 2 Ä„ = 2 Ä„ = 2 Ä„ = 2 Ä„ (4.7)
m g a m g a g g
Wielkość lzr nazywamy długością zredukowaną wahadła rewersyjnego i jak widać z powyż-
szego wyprowadzenia jest ona równa a + b czyli odległości między osiami obrotu wahadła ;
którą można łatwo zmierzyć liniałem.
Widzimy więc, że okres wahań wahadła zawieszonego na osi O1 jest równy okresowi wahań
tego wahadła zawieszonego w punkcie O2 odległym od punktu O1 o długość zredukowaną.
Na tej podstawie zarysowała się idea prostego i dokładnego pomiaru przyspieszenia ziem-
skiego, bez wyznaczania IS , m i położenia środka ciężkości tylko przez łatwy pomiar odle-
głości między osiami oraz okresu. Jak jednak praktycznie znalez
ć osie, dla których jest
słuszny warunek (4.6) mając bryłę o zadanym już kształcie, a więc o z góry ustalanym poło-
żeniu środka masy S oraz wartościach I i m. Praktycznie przesuwanie osi obrotu jest bardzo
trudne. Znacznie łatwiej postąpić odwrotnie, tzn. zamocować na stałe obie osie, zmieniać zaś
położenie środka masy, a wraz z nim IS aż do spełnienia warunku T1 = T2 .Tak też postępuje-
my w ćwiczeniu (rys 4.3). Na pręcie mającym na stałe zainstalowane dwie osie obrotu
umieszczamy (między osiami) ciężarek nadziany wcześniej na pręt. Przesuwając ciężarek
wzdłuż pręta i mierząc okresy względem obu osi poszukujemy sytuacji, w której T1 = T2.
Aby doświadczalnie wykluczyć sytuację, w której b = a wprowadza się dużą asymetrię
wstępną wahadła zwykle poprzez dodatkowe jeden lub dwa przesuwalne ciężarki umiesz-
czone poza osiami.
Rys. 4.3. Laboratoryjny model wahadła fizycznego.
Sprawdzimy jeszcze, czy dla takiego wahadła na pewno będzie istniało między osiami poło-
żenie ciężarka, przy którym zajdzie oczekiwana sytuacja, czyli związek (4.6). Możemy go
zapisać w postaci:
IS
a (lzr - a)= (4.8)
m
Przesunięcie ciężarka zmienia niewiadomą "a" w równaniu, ale również wpływa na wartość
IS. Ponieważ lewa strona równania (4.8) ma postać równania drugiego stopnia, ogólnie moż-
na spodziewać się dwóch rozwiązań dla a, czyli dwóch różnych wartości położenia soczewki,
przy których spełnienie warunku (4.6) umożliwia obliczenie przyśpieszenia ziemskiego
(rys. 4.4). To jednak, czy rozwiązania takie będą istniały zależy od konkretnych wartości IS.
Rys.4.4. Zależność okresu wahań od położenia soczewki wahadła.
Należy zaznaczyć, że pomiary należy wykonywać przy małych amplitudach wychyleń wa-
hadła (nie większych niż 100).
4.2. Układ pomiarowy
Zestaw pomiarowy składa się z wahadła fizycznego o dwu osiach obrotu i układu elektro-
nicznego pozwalającego mierzyć czas określonej pełnej liczby wahań wahadła.
4.3. Wykonanie pomiarów
1. Zawiesić wahadło na osi O1 i dokonać pomiaru 10 okresów jego drgań zmieniając poło-
żenie środkowego ciężarka co 50 mm w zakresie od 150 mm do 850 mm (wykreślić zależ-
ność okresu T1 od położenia ciężarka).
2. Zawiesić wahadło na osi O2 i dokonać pomiaru 10 okresów jego drgań przy tych samych
położeniach środkowego ciężarka co w punkcie pierwszym (wykreślić zależność okresu T2
od położenia ciężarka).
3. Zorientować się, w których miejscach otrzymane na wspólnym wykresie krzywe przeci-
najÄ… siÄ™.
4. Wykonać pomiary według punktów 1 i 2 w pobliżu jednego z punktów przecięcia się
krzywych T1 i T2 zagęszczając położenia ciężarka co 10 mm.
5. Zmierzyć długość zredukowaną wahadła.
6. Oszacować błędy pomiaru czasu "T i długości "lzr .
4.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Wykreślić zależność czasów T1 i T2 otrzymanych przy zagęszczonych położeniach cię-
żarka, wyznaczyć punkt przecięcia i odczytać wartość T0 = T1 = T2 .
2. Korzystając ze wzoru (4.7) oraz z wartości T0 obliczyć g.
3. Oszacować maksymalny błąd "T0 wyznaczenia T0 .
4. Obliczyć maksymalny (graniczny) błąd "g według wzoru:
ëÅ‚ "lzr "T
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"g = g + 2
ìÅ‚ ÷Å‚
lzr T
íÅ‚ Å‚Å‚
4.5. Pytania kontrolne
1. Co nazywamy długością zredukowana wahadła fizycznego ?
2. Jak brzmi twierdzenie Steinera ?
3. Jaką przewagę ma pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
nad pomiarem za pomocą wahadła fizycznego?
4. Dlaczego amplituda kÄ…towa wahaÅ„ wahadÅ‚a nie powinna być wiÄ™ksza niż 10° ?
5. Jak zależy wartość g od szerokości geograficznej ?
L i t e r a t u r a
[1] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.I; Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa
1972.
[2] Piekara A.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1973.