Kolokwium nr 1 z matematyki
Wydzia WILiÅš, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013
l
Zad.1. [8p  rozwiazanie piszemy na stronie 1 ]
¸

Wykazać, że pole wektorowe F = [2 sin(y + z) - ey+2z, 2x cos(y + z) - xey+2z, 2x cos(y + z) - 2xey+2z + 2z] jest
potencjalne. Wyznaczyć potencja tego pola a nast¸ obliczyć ca e
l epnie lk¸

(2 sin(y + z) - ey+2z)dx + (2x cos(y + z) - xey+2z)dy + (2x cos(y + z) - 2xey+2z + 2z)dz.
L
"
gdzie luk L : {y = 1 - x2, z = x - 1} dla x " [0, 1].

Zad.2. [6p  rozwiazanie piszemy na stronie 2 ]
¸


Obliczyć x2 + y2dl, gdzie L jest okr¸ o równaniu x2 + y2 = 2x.
egiem
L
Zad.3. [2p+4p  rozwiazanie piszemy na stronie 3 ]
¸
a) Sformu twierdzenie Greena.
lować

b) Korzystaj¸ z twierdzenia Greena obliczyć ydx + 2xdy, gdzie luk L jest brzegiem kwadratu o wierzcho
ac lkach
L
O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) zorientowanym ujemnie wzgl¸ swego wn¸
edem etrza.
Zad.4. [5p  rozwiazanie piszemy na stronie 4 ]
¸
1 3 1
Wyznaczyć równanie prostej binormalnej i p r(t)
laszczyzny normalnej do krzywej = [2t - , t + , - ] w
t2 t t3
punkcie odpowiadaj¸ t0 = -1.
acym
Zad.5. [5p  rozwiazanie piszemy na stronie 5 ]
¸
Wykazać, że krzywizna i skr¸ krzywej L : {2y = x2, 6z = x3} s¸ sobie równe w każdym punkcie krzywej L.
ecenie a