3582316707

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Kolokwium nr 2 - 6.06.2011

Zadadanie 1 (lOpkt)

Czasy oczekiwania na kolejne żądania użytkownika systemu webowego modelowane są niezależnymi realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem a, p(i|o) = Exp(f|o), gdzie o > 0, t > 0. Dodatkowo znany jest rozkład a priori parametru o, p{a) = Exp(o|/J), gdzie a > 0, d > 0. Zaobserwowano N niezależnych czasów oczekiwań t = {t_n}n=i- Dla parametru a znaleźć rozkład a posteriori p(o|t), a następnie wyznaczyć estymator maksymalnego a posteriori (MAP). Wskazówka: Gęstość rozkładu wykładniczego ma postać Exp(a?|A) = Xe~^Xx,

gdzie x > 0, A > 0.

Zadanie 2 (lOpkt)

Niech zmienna losowa K € {0,1} oznacza czy kupiony na giełdzie rower jest kradziony. Prawdopodobieństwo zakupu kradzionego roweru wynosi p{K = 1) = 0.3. Niech zmienne losowe M € {0,1} i N € {0,1} oznaczają odpowiednio czy rower został przemalowany oraz czy da się odczytać numer ramy. Łączne prawdopodobieństwa tych dwóch zdarzeń w przypadku roweru kradzionego wynoszą odpowiednio: p(M = 0, N = 0|if = 1) = 0.5, p(M = 0,JV = 1|AT = 1) = 0.2, p{M = 1,1V = 0\K = 1) = 0.2. Natomiast w przypadku roweru niekradzionego wynoszą: p{M = 0,JV = 0|AT = 0) = 0.1, p{M = 0,JV = 1|K = 0) = 0.5, p{M = 1,JV = 0|AT = 0) = 0.1. Zaobserwowano, że rower, który chcemty kupić, ma widoczne numery oraz został przemalowany. Wyznaczyć prawdopodobieństwo p(K = 1|M = l,iV = 1) i na tej podstawie podjąć decyzję czy dany rower jest kradziony.

Zadanie 3 (lOpkt)

Trójkątny obszar A na płaszczyźnie opisany jest jako przecięcie trzech półpłaszczyzn: A = {x € IR² : Gx + h ■< 0}, gdzie G jest macierzą o wymiarach 3 x 2, h jest wektorem o wymiarach 3 x 1. Dany jest prostąkąt H = {x € K² : a < X¹ <6, c < x² < d). Chcemy znaleźć prostokąt 7Z o maksymalnym polu zawarty w obszarze A. Sformułować wypukły problem optymalizacji, przyjmując a, 6,c, d jako zmienne decyzyjne. Uzasadnić, że sformułowany problem jest wypukły.

Zadanie 4 (lOpkt)

Prosta l w przestrzeni trójwymiarowej przechodząca przez początek układu współrzędnych opisana jest równaniem I = {x € i³ : Ax = 0}, gdzie A jest macierzą o wymiarach 2x3. Dany jest także punkt z € IR³. Korzystając z funkcji Lagrange’a wyznaczyć najbliższy punkt do punktu z leżący na prostej i.

Wskazówka: W celu uproszczenia rachunków wykorzystać następujące własności:

V_x||x — z||| = 2(x — z) oraz V_xA^TAx = A^rA.

1