3582316704

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Kolokwium nr 1 - 4.04.2011

Systemy dynamiczne — równania różniczkowe — równanie stanu

Zadadanie 1 (lOpkt)

Na polu bitwy spotkały się dwie armie - Polan, o liczności Pq, i German, o liczności Gq. Przez P(t) oraz G(t) oznaczmy wielkość armii w chwili i Polan i German, odpowiednio. Prędkość zmiany liczności armii Polan jest proporcjonalna do wielkości armii German z dokładnością do parametru Ag ze znakiem minus. Podobnie, prędkość zmiany liczności armii German jest proporocjonalna do wielkości armii Polan z dokładnością do parametru Ap ze znakiem minus. Oba parametry Ag i Ap odpowiadają za efektywność obu armii, a) (2pkt) Zapisać równanie stanu oraz podać warunki początkowe (tj. P(0), ć?(0), P(0), ć?(0)). b) (Ąpkt) Przekształcić równanie stanu do postaci równania różniczkowego drugiego rzędu dla P(t). c) (Ąpkt) Wyznaczyć transformatę Laplace’a dla P(t). Rozwiązanie:

a)

dpg)

d t

d G{t) d t

= -A _GG(t) - -A_FP(t)

oraz warunki początkowe:

P( 0) = Po G( 0) — Gq P( 0) = -AgG₀ G(0) = -AnPo

b) Biorąc:

G(t) =

i wstawiając do drugiego równania mamy

1 d²P(t)

1 dP(t) Ag dt

Ag dt²

Porządkując ostatecznie otrzymujemy

d²P(t)

= -A_PP(t).

dt²

— ApAcP(t) — 0.

1