109472

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Kolokwium nr 2    6.06.2011

Zadadanic 1 (lOpkt)

Czasy oczekiwania na kolejne żądania użytkownika systemu webowego modelowane są niezależnymi realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem a, p(t|a) = Exp(f|a), gdzie a > 0, ł > 0. Dodatkowo znany jest rozkład a priori parametru a. p(a) = Exp(a|/?), gdzie a > 0,    > 0. Zaobserwowano N niezależnych cza

sów oczekiwań t = {/_n}^_,. Dla parametru a znaleźć rozkład o posteriori p(a|t), a następnie wyznaczyć estymator maksymalnego a posteriori (MAP). Wskazówka: Gęstość rozkładu wykładniczego ma postać Exp(x|A) = Ae^_Xr.

gdzie x > 0, A > 0.

Zadanie 2 (lOpkt)

Niecił zmienna losowa K G {0.1} oznacza czy kupiony na giełdzie rower jest kradziony. Prawdopodobieństwo zakupu kradzionego roweru wynosi p(K = 1) = 0.3. Niech zmienne losowe M € {0.1} i N € {0.1} oznaczają od|xnvie<lilio czy rower został przemalowany oraz czy <la się odczytać numer ramy. Łączne prawdopodobieństwa tych dwóch zdarzeń w przypadku roweru kradzionego wynoszą odpowiednio: p( A/ = 0, .\^r = 0| A = 1) = 0.5. p(A/ = 0, N = \\K = 1) = 0.2, p(M = 1,jV = 0\K = 1) = 0.2. Natomiast w przypadku roweru niekradzionego wynoszą: p(M = 0, N = 0|A = 0) = 0.1, p(M = 0, A’ = 11AT - 0) = 0.5, p(M = 1,JV = 0|A’ = 0) = 0.1. Zaobserwowano, że rower, któr>' chcemy kupić, ma widoczno numeiy oraz został przemalowany. Wyznaczyć prawdo])odobieństwx> p(A' = 11 A/ = l.N = 1) i na tej podstawie podjąć decyzję czy dany rower jest kradziony.

Zadanie 3 (lOpkt)

Trójkątny oliszar A na płaszczyźnie opisany jest jako przecięcie trzech pótplaszczyzu: A = {x € R² : Gx + h < 0}. gdzie G jest macierzą o wymiarach 3 x 2. h jest wektorem o wymiarach 3x1. Dany jest prostąkąt Tl = {x G R² : a < x* <6, c < r² < d). Chcemy znaleźć prostokąt Tl o maksymalnym polu zawarty w obszarze A. Sformułować wypukły problem optymalizacji, przyjmując a,6,c, <i jako zmienne decyzyjne. Uzasadnić, że sformułowany problem jest wypukły.

Zadanie 4 (lOpkt)

Prosta / w przestrzeni trójwymiarowej przechodząca przez początek układu współrzędnych opisana jest równaniem / = (x G R³ : Ax 0}, gdzie A jest macierzą o wymiarach 2x3. Dany jest także punkt z G R‘^l. Korzystając z funkcji Łagrange*a wyznaczyć najbliższy punkt do punktu z leżący na prostej /.

Wskazówka: W celu uproszczenia rachunków wykorzystać następujące własności:

V_x||x - z||3 = 2(x - z) oraz V_xA^rAx = A^rA.

1