3582324413

1

Zagadnienia z wykładu

■ 1.1 Biały szum

1. Zapisać definicję białego szumu w ścisłym sensie.

Definicja 1. Proces {Zt, t £ Z} jest białym szumem z wariancją a² ą ~ WN(0, er²) wtedy i tylko wtedy, gdy Zt jest kowariancyjnie stacjonarny o wartości oczekiwanej p = 0 i funkcji autokorelacji

{

a² gdy h = 0 0 gdy h 0

7t{h) =

Inaczej biały szum to obustronnie nieskończony ciąg nieskorelowanych zmiennych losowych o wartości oczekiwanej 0 i jednakowej skończonej wariancji.

Definicja 2. Proces {zt-,t £ Z} jest białym szumem w ścisłym sensie z wariancją cr² <=> zt ~ UćHOyO²) (iid - independent identieally distributed). Czyli jest to ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa o

wartości oczekiwanej równej zero E(zt) = 0 i wariancji skończonej Var(zt) = a²

2. Podać definicję procesu liniowego. Kiedy proces liniowy jest kowariancyjnie stacjonarny ?

Definicja 3. Proces stochastyczny {zt,t £ Z} jest procesem liniowym wtw, gdy

00 00 3{e<} ~ WN(0,(r²),3{il;j}jt__oo,'tl>j £ M : ^ |^| < oo, takie że £ Z zt = ^

j—~ oo    j——oo

Zapis operatorowy:

00

\ft £ Z zt — -ip(L)et, gdzie ^(L) = ifrjlP

j—~ 00

Warunek Y^-oo Nbl < oo zapewnia to, że suma nieskończona zt = YYj^-oo    (szereg

funkcyjny) jest zbieżna z prawdopodobieństwem 1.

Twierdzenie 1.1. (Brockwell i Davis 2002, str.52)

Niech {£*} ~ WN{0,a²). Jeżeli {zft £ Z} jest procesem liniowym i zt = YJjL-oo

(a)    E(zt) =O,

(b)    E{z²t) = o²Y%L-oo*J=Tb₍0)