3582326451

2H Równanie BernouLiego wyprowadzone z równania Eulera

W celu wyprowadzenia równania Bemouliego z całki równania Eulera zależy uzyskać związek algebraiczny pomiędzy prędkością przepływu płynu, a jego ciśnieniem. Jest to możliwe w przypadku ruchu ustalonego, potencjalnego dla płynu o stałej gęstości P — const. Należy przekształcić całkę Eulera do postaci w której wystąpi rotacja prędkości (rot v). rozważamy składowe substancjalne dla

dx j

kierunku X:

dv_x dv_x dv_x    dv_x 17 dv_x f

—— = —^-+V_r —"-+V_Y-^_r^JL+V,    ^x

dt    '

dt

dx

dz

dx J

+ 1 ^Vzlt~^Vy

dV_x dV_x T/ dV_x T7 dV_? r7 dV_z T7 —~ =    +V_y    + V„ ~-+V₇-~-V„

dt    ^x '    ^? ^    ² ^    ^?

dt

dx

dx

dx

^Bv’ ^dv*l,v..f^dv’ ^av* ł

\ dz dx j

dVr

dV_v

dt dx

2 j~i^V’^r°‘-^V-^V-^r°‘r^V) =~af- ⁺ _Sx

dx    J

a[V²i

)

—V_xrotV .Ostatnią część powyższych

obliczeń można zapisać dla kierunków Y i Z w taki sam sposób. Można więc zapisać równanie

V xrotV. Po podstawieniu otrzymamy

dV dV

wektorowe: —— =-^r-+-graa dr dt

^dv

--\-qrad

dt ^y

r_V2 ^

~2 \

2

v y

-V XnotV = F_m--gradp . Jest to równanie w farmie Lambra-Gromek

29 Równanie Bernnulliego dla płynu ściśliwego f dwuwymiarowego!.

8Vx dVx dVx    1 dp .. 8Vy dVy . dVy    1 dp

-+-Vx +-Vy = Fx---—lxdx —- +—— Vx+—— Vy = Fy----My

dt dx dy    p dx    dt dx dy    pdy

dVx    dVy    dVx    dVy    1 dp    dVy    dVx    1 dp

-= 0;——= 0; -Vxdx + ——Vydy = Fxdx---dx ■ —— Vxdy+-Vydy = Fydy---—dy

dt    dt    dx    dy    p dx    dx    dy    p dy

Przepływ stacjonarny- przepływ po liniach prędkości_Vxdy=Vydx;

^^-Vxdx+Vxdy = Fxdx —1— dx . ^Vxdx₊^Vydy = Fydy-^Jy dx    dy    p dx dx    dy    p dy

1    dVx² .    1 dVy² ,    „ ,    1 dp .

Po dodamu stronami tych dwóch rownan otrzymuj emy:---— ax H----— dy = t xax---dx;

2    dx 2 dy    p dx

——^—dx +——^—dy = Fydy    — dy , — dVx²+—dVy² =Fxdx+Fyd[y-—(^-dx+^-dy)

2 dx 2 dy    p dy 2    2    p dx dy

— dv² — F——dp F =—du — dv² + du + — dp = 0 d(— v² + n + — p) = 0 2    p    2    p    2    p

v²    1

---h nH— p = const; n = g_z. Poprzez powyższe przekształcenia dochodzimy do równania

²    P

v² p

Bernoulliego mającego w tym przypadku postać: —+— + g, = const.