1109145099

J := / p [(r - r₀) • (r - r₀) 1- (r - r₀) ® (r - r₀)] dV,    (39)

Jv

gdzie J jest tensorem momentów bezwładności bryły sztywnej. W układzie współrzędnych kartezjańskich poruszającym się z bryłą ("zamrożonym" w bryle) mamy

J =Jyej ® e^, Jij = / p (x_mx_móij — XiXj) dV,    (40)

Jv

gdzie e* (t) są ruchomymi wektorami jednostkowymi bazy. Ich zależność od czasu wynika łatwo z zależności

(%&)' = £ijiw_jx_ke_i    śi = £_ijkLOje_k.    (41)

Równania ruchu bryły sztywnej wynikają teraz łatwo z zasad zachowania pędu i krętu

p = A/f = P,    (42)

k = (Jw)' = M.

gdzie M oznacza całkowity moment sił zewnętrznych względem środka masy. Wykorzystanie związku (41) w (42) prowadzi do równań Eulera ruchu kulistego

Jijd)j + SijkJjm^k^m ~    (43)

Sprawdźmy jeszcze, jaką energię posiada bryła sztywna. Ponieważ energia potencjalna zależy wyłącznie od odległości punktów bryły, a te nie ulegają zmianie, więc U musi być stałe. Bez utraty ogólności można przyjąć U = 0. Pozostaje tylko energia kinetyczna

Ek *=j ^pr ■ idV =

= J (r₀ + wx (r — r₀)) - (r₀ +ojx {r — r₀)) dV —

1    f 1

= -Mf₀-r₀+ / —p (wx (r ro)) * (wx (r ro)) dV = z    Jv Z

= o • fo + -w ■ Ju>.    (44)

Pierwszy człon opisuje, oczywiście, energię kinetyczną ruchu postępowego, a drugi -ruchu kulistego.

W dalszym ciągu stosować będziemy te związki głównie w uproszczonych przypadkach dwuwymiarowych. Dla takiego ruchu bryły sztywnej (tarczy!) mamy wtedy w układzie współrzędnych kartezjańskich

ro—Xq (t) ei + yo (t)    + ²o^e3i oj — u (t) e3,    (45)

gdzie (xo,yo) są współrzędnymi środka masy bryły sztywnej, poruszającego się po płaszczyźnie Zo — const prostopadłej do wersora e3, a u = (p {ip - kąt obrotu) jest prędkością kątową ruchu obrotowego bryły wokół osi prostopadłej do tej płaszczyzny. Równania ruchu, z których wynika postać trzech funkcji opisujących ruch są następujące

= Mjjo — P_y, Iu = M_z, J= f p(x² + y²)dV,    (46)

Jv

13