1109145100

gdzie początek układu współrzędnych (x,y), występujących w definicji biegunowego momentu bezwładności J, jest wybrany w środku masy bryły. P_x, P_y są współrzędnymi siły wypadkowej, a M_z jest momentem wypadkowym. Energia kinetyczna, a więc i funkcja Lagrange’a, jest w tym przypadku dana wzorem

(47)

2 Układ o jednym stopniu swobody

2.1 Modele tłumienia

Tłumienie drgań układów mechanicznych wynika, jak już wspominaliśmy, z dwóch różnych powodów. Pierwszy z nich jest związany z własnościami materiałów, z których jest wykonana konstrukcja. Materiały te mogą posiadać, obok sprężystych, istotne własności lepkie, a te prowadzą, jak zobaczymy, do tłumienia drgań. Drugi powód może być zewnętrzny. Może to być kontakt, również celowy, z urządzeniem tłumiącym drgania, ale może to być również naturalny kontakt ze środowiskiem (powietrzem, gruntem, itp.), które przejmuje nieodwracalnie część energii z konstukcji i tym samym powoduje tłumienie drgań.

Rozważania dotyczące tłumienia rozpoczniemy od analizy prostego modelu Teologicznego, modelu Voigta, składającego się z równolegle połączonych sprężyny i tłoczka (patrz Rys. 6).

Rys. 6: Model Voigta

W modelu tym naprężenie w sprężynie jest proporcjonalne do odkształcenia £ i współczynnikiem proporcjonalności jest sztywność k, a w tłoczku naprężenie jest proporcjonalne do szybkości odkształcenia e = de/dt ze współczynnikiem lepkości c. Ponieważ elementy są połączone równolegle, więc mają to samo odkształcenie, a naprężenie całkowite a jest sumą naprężeń obu elementów. Mamy więc

(48)

cr = ke + ck.

Związek ten można rozumieć dwojako. Z jednej strony może on być interpretowany jako jednowymiarowy związek materiałowy (konstytutywny) między odkształceniem i naprężeniem. Istnieją jego uogólnienia trójwymiarowe i materiały, które spełniają taki związek