1109145212

która wyraża minimalną wartość koszyków nie mniej preferowanych oda, posiada pochodne cząstkowe spełniające równości

^-(P,a) = Pj(P,a)j e <l,..n>,

gdzie a₇(p,a) jestj-tą współrzędną a(p,a),

4) f(p,a) >0, o ile a ^ 0,

5) o(p,ę(p,I)) = <p(P,/),    J{p,ę(p,I)) = /, dla p » 0, / > 0,

$J*(P»/(P.»)) = ®(P»a). dlaf(p,a) > 0,

7) (Aa, Ap) < 0, gdzie p » 0, p +Ap » 0, Aa = a(p +Ap,a) - a(p,a).

Także popyt Marshalla i popyt Hicksa są dualne względem siebie w następującym sensie. Twierdzenie 6.4

Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p » 0. dochodu I > 0 oraz użyteczności u, funkcja popytu Marshalla ę : R'1* R -» R oraz funkcja popytu Hicksa p : R"xR -» R spełniają następujące równości:

1) tp(p,I) = p(p,v(p,/)), a(p,<^(p,/)) = (p{p,I)

2)    p(p,«(a)) = <p(p,<?(p,u(a))),

(p(p,ffp,a)) = a(p,a).

7. Równanie Słuckiego

Dla dowolnego ustalonego a, liczba/(p,a) = min jest minimalnym poziomem dochodu, który przy wektorze cen p zapewnia ten sam poziom preferencji (zadowolenia konsumenta) co koszyk a. Najtańszym zaś koszykiem zapewniającym ten sam poziom użyteczności co koszyk a, przy wektorze cen p, jest koszyk a(p,a).

Używając wielkości a(p,a) i/(p,a) możemy rozłożyć zmianę popytu Aę = <p(p+Ap,/) - <p(p,/), odpowiadającą zmianie cen Ap, na dwie składowe:

Aę = ę(p+Ap,I)-ę(p,I)

= ę(p+Ap,I)-o(p+Ap,ę(p,I))

+ o(p+Ap,ę(p,I)) - ę(p,/).

Korzystając z własności (patrz 5) w twierdzeniu 6.2’):

ApMp,0) = /