1109145316

3.2 Szeregi Fouriera. Zadania.

1. Znaleźć rozwinięcie Fouriera. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości?

(a)

1—1 gdy - ir < x < 0 +1 gdy 0 < x < 7T

Odp. f(x)

(b)

4 ^2. sin(2n + l)x

TT to 2n+l '

Wszystkie granice = 0.

{1 gdy — w < x < 0 3 gdy 0 < x < tt

Odp. f(x) ~ 2 + — Y'. sin^2n+^l)x Wszystkie granice = 2.

(c)    f(x) = x , -7T < x < +7T.

Odp. x ~ 2 • y^(—l)^n+l --—. Wszystkie granice = 0.

n=l    ⁿ

(d)    f(x) = x , -1 < x < +1.

Odp. x ~ — • y^(—l)^n+l——Wszystkie granice = 0.

(e)    f(x) = x^{1 2 3} , -7T < x < +7T.

Odp. x² ~ — • Y'(-l)ⁿC0S!^IX. Wszystkie granice = ir².

7T    n*

(f)    f(x) = x²    , -1    < x < +1.

o    ⁴    ,._ncosn7rx ...

Odp. x ~ — ■ > (-1) --—. Wszystkie granice = 1.

(g)    /W = |x| , -1 < x < +1.

Odp. |z| ~ ±    ~ t(~l)ⁿC°^2n + iy^X’ ^Wszystkie §^{ranice = L}

2. Znaleźć rozwinięcie Fouriera w szereg samych cosinusów. Do czego jest zbieżny szereg Fouriera na końcach przedziału i w punktach nieciągłości?

1

gdy 0 < x < 7r/2

2

I 0 gdy 7t/2 < x < 7r

3

Odp. /(i) ~ - + £(-l>" cos(2n + l)x. Granice: 0 dla x = 0 , 1 dla x = n.