WYKA
AD 9 14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Szereg Taylora
x0
f
Załóżmy, że funkcja ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
śąnźą
"
f śą x0źą f ' śą x0źą f ' ' śą x0źą
Å"śą x-x0źąn= f śą x0źąƒÄ… śą x-x0źąƒÄ… śą x- x0źą2ƒÄ…...
"
n=0
n! 1 ! 2!
x0 x0 =0
f
nazywamy szeregiem Taylora funkcji o środku w punkcie Jeżeli to szereg ten
nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f
Definicja: Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora
Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu
śąn źą
limn f śącźą
U śą x0,ºÄ…źą=śą x0 -ºÄ… ; x0 ƒÄ…ºÄ…źą x0
punktu oraz gdzie
"x "U śą xo ,ºÄ…źą Śą" śą x-x0źąn=0
n !
c=x0 ƒÄ…¾Ä…śą x-x0źą
dla 0 "Ä…¾Ä…"Ä…1 to:
śąn źą
"
f śą x0źą
f śą xźą= Å"śą x-x0źąn
"
n=0
n !
x "U śą x0, ºÄ…źą
dla każdego i mówimy, że funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora w otoczeniu
U śą x0, ºÄ…źą
DOWÓD:
śąn-1źą
śąnźą
f ' śą x0źą f śą x0źą
f śą cźą
Rn -1śą xźą= śą x-x0źąn
f śą x źą= f śą x0źąƒÄ… śą x -x0źąƒÄ…...ƒÄ… śą x-x0źąn-1ƒÄ…Rn-1śą x źą
n !
1 ! śą n-1źą!
f śą x źą=T śą xźąƒÄ…Rn -1śą xźą x "U śą x0, ºÄ…źą T =S
dla oraz
n-1 n-1 n-1
limn Śą " Sn -1śą xźą=limn Śą" [ f śą xźą- Rn-1śą x źą]= f śą x źą-limn Śą" Rn -1śą xźą= f śą xźą-0 = f śą xźą
Definicja: Warunek wystarczający rozwijalności funkcji w szereg Taylora
U śą x0,ºÄ…źą=śą x0 -ºÄ… ; x0 ƒÄ…ºÄ…źą
f
Jeżeli ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu
śąnźą
x0 "M Ä…0 "xinU śąxo ,ºÄ…źą "n =0,1,2 ,3.. #" f śą xźą#"d"M
punktu oraz to
śąn źą
x "U śą x0, ºÄ…źą c=x0 ƒÄ…¾Ä…śą x-x0źą
limn Śą" f śącźą śą x-x0źąn=0 dla 0 "Ä…¾Ä…"Ä…1
n !
1 WYKA
AD 9. 14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska